Proto의 <수리영역에 관한 이야기>
by 세로토닌 | 2007년 9월 16일 19:21
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글을 시작하며..
저의 이야기를 들려드리고 싶습니다.
재수생 시절이었던 어느 날 저는 감기에 걸려서 감기약을 먹고 수학 공부를 시작했습니다. 약 기운 때문인지 그날따라 몽롱한 정신으로 문제를 풀게 되었습니다. 문제를 풀다가 어떤 문제에서 주어진 한 점의 XY좌표를 바꿔서 푸는 실수를 저질렀습니다. 그런데 문제를 다 풀고 보니 상당히 참신하고 깔끔한 문제라는 느낌이 들었습니다. ‘이런 문제도 있었나?’하면서 다시 문제를 살펴보다가 비로소 저의 실수를 알게 되었습니다. 제대로 풀고보니 원래의 문제는 자주 접하는 흔한 그런 유형의 문제였습니다. 오히려 실수로 그 문제를 바꾸었더니 더 새롭고 기발한 문제가 된 것입니다. 저는 그 날 이와 같은 일을 또 한번 겪었습니다.
그동안 저는 그냥 문제를 읽고 풀면 그것으로 끝인 공부를 했습니다. 아주 편했습니다. 실증이 나는 문제집을 빨리 해치울 수도 있었습니다. 고난도 문제는 그냥 어려운 문제집을 사서 풀면서 대비했습니다. 그렇게 하니 평가원 시험을 빼고는 성적이 좋게 나왔습니다. 하지만 저는 그 일을 계기로 저의 공부방식을 조금씩 바꾸게 되었습니다. 문제를 여러 가지 방법으로 풀어보고 문제에 나오는 여러 가지 조건들도 바꾸면서 공부하기 시작했습니다. ㄱㄴㄷ형 문제는 ‘ㄹ’, ‘ㅁ’, ‘ㅂ’ 보기까지 만들어보기도 했습니다. 그리고 문제만 보면 들입다 푸는 습관은 버리고 대신 마치 바둑을 둘 때 다음 수를 예측하듯 ‘왜 이런 문제를 냈을까?’하며 고민하게 되었습니다. 그리고 그런 노력으로 저는 수능시험에서 만족할 점수를 얻었습니다.
여러분, 문제집에 인쇄되어 있는 문제가 전부가 아닌 것입니다. 공부하는 방법만, 문제를 푸는 자세만 바꾸면 하나의 문제를 풀고도 열문제를 푸는 것 보다 더 많은 것을 알 수 있는 것입니다.
항상 좁게 좁게 공부하면서,
‘문제 풀고 땡’하는 식의 공부를 하면서,
수학이라는 과목을 그저 타고남에 치부했던 우리들에게
필요한 공부자세는 무엇인지 생각해보셨으면 좋겠습니다.
Proto의 <수리영역에 관한 이야기>
ꁱ수리영역 학습의 단계
수리영역 학습을 하는 단계를 여러 관점에서 나눌 수 있습니다. 그 중에서 저는 현실적으로 우리 수험생의 공부 단계를 잘 표현하는 관점을 선택하겠습니다.
1. 개념정리
말할 필요가 없을 것입니다. 여러 곳에서 외치고 있는 것이 바로 개념정리의 중요성입니다. 된소리하지는 않겠습니다. 그런데 많은 사람들이 개념정리는 말 그대로 기본서나 교과서에 나와있는 개념설명을 읽는 것이라고 생각하고 있습니다. 하지만 개념정리는 단지 그런 것에서만 한정되지 않습니다. 수학 과목의 특성상 개념정리를 한답시고 그저 개념설명만을 읽어서는 큰 효과를 보기가 어렵습니다. 따라서 우리가 배운 개념을 조금더 확실히 하고, 확장하기 위해서 문제를 푸는 것입니다. 많은 사례를 접하면서 자신이 가지고 있는 개념이라는 틀 속에 그 문제들을 일일이 가두는 작업이 필요한 것입니다.
(1)이해해야 할까? 외어야 할까?
물론 이해해서 외운다면 좋겠지만 수학 공부를 할 때 이 둘이 따로 가는 경우가 많습니다. 예를 들어 내분점 공식이 어떻게 해서 나왔는지는 이해가 되었는데 외우지 않아서 문제를 풀 때 즉시 생각나지 않는 경우가 있지요. 또 반대로 어떤 공식은 완전히 이해하지는 못했는데 자기도 모르는 사이에 외우게 된 경우도 있습니다. 그렇다면 이렇게 이해하는 것과 외우는 것이 따로 갈 경우에는 어떻게 해야 될 까요?
우선, 저는 이렇게 말하고 싶습니다. 외워야 할 것은 외워야 합니다. 방금 예를 든 것처럼 공식을 외우지 않고 이해만 한 뒤에 시험장에 가서 유도할 수는 없느 것입니다. 수학을 처음 공부하는 많은 사람들이 어떤 개념을 끝까지 이해하려고 노력하다가 끝내 포기하고 맙니다. 이해하지 못했더라도 외운다면 머릿 속에서 어느 정도 자리가 잡힌 것입니다. 또 외운 뒤에 몰랐던 것이 이해되는 경우도 있습니다.
하지만 이렇게도 말하고 싶습니다. 외울 것을 충분히 외웠고 이제 공부도 안정적으로 하고 있다면 자신이 외운 것을 따져보십시오. 이것은 왜 그렇고 또 이것은 왜 이런지 수식을 써서 증명해보십시오. 그렇게 해서 쌓은 지식이 시험장에서 즉시 많은 도움 주는 것은 아닙니다. 하지만 수리영역의 전반적인 부분을 폭넓게, 깊게 이해할 수 있게 해줍니다.
(2)반복? 반복!!
수학이라는 과목에서 예습이 어느 정도 통하는 것은 예습하는 것은 결국 반복을 하는 것이기 때문입니다. 처음 개념을 배울 때 천재가 아닌 이상 우리는 모든 것을 완벽하게 이해하지 못합니다. 또, 10을 배웠으면 적어도 3에서 4는 잊게 됩니다. 그러므로 반복학습을 하는 것입니다. 반복해서 공부하는 것은 마치 그림을 여러번 보는 것과 같습니다. 우리가 어떤 그림을 볼 때 한 눈에 보고 그 그림에 나온 내용을 모두 기억할 수는 없습니다. 한 번 보면우리의 머릿 속에는 대략 적인 윤곽만 떠오를 뿐입니다. 하지만 여러번 보면서 세부적인 내용들이 눈에 들어오고 전에는 포착하지 못했던 내용을 포착하게 되면서 머릿속의 그림이 온전히 이루어지게 되는 것입니다. 반복 학습을 하는 것고 이와 같은 이유에서 그렇습니다.
(3)내 안에 잠들어 있는 개념을 자극하라.
[공중에 떠다니는 먼지는 시간이 지나면 가라앉아서 움직이지 않게 됩니다. 들떠있을 때만 자유롭게 움직일 수 있습니다.]
우리는 매일 개념공부를 하지 않습니다. 개념이 어느 정도 잡혔다 싶으면 문제풀이에 들어갑니다. 문제를 풀 때는 문제풀이에 필요한 최소한의 개념만을 기억해내게 됩니다. 또한 우리는 같은 패턴의 문제를 자주 접합니다. 그러다보면 우리는 그 문제풀이에는 필요하지만 자신이 확실히 알고 있고, 이제는 너무 뻔하다고 생각하는 개념들은 생략하며(떠올리지 않으며)문제를 풀게 됩니다. 반복을 통해 학습, 암기가 된 상태죠. 이러한 우리의 공부방식 때문에 자주 쓰이는 개념들과 자주 쓰이지 않는 개념들이 확연하게 구분이 됩니다. 그리고 자주 쓰이지 않는 개념은 공중에 떠다니다가 시간이 지나 가라앉은 먼지와 같은 상태가 됩니다.
우리는 어떤 식으로 시험문제가 나올지 모릅니다. 우리들의 머리 속에 ‘가라앉아’ 있던 개념들이 시험에 나올 수도 있는 것입니다. 평소에는 잘 안다고 해서 생략하고 무시해버렸던 개념들이 막상 시험을 볼 때는 잘 생각이 나지 않는 겨우가 많습니다. 연습할 때 자신이 많이 쓰던 개념들만이 머리에 맴돌 뿐이죠. 결국 우리는 ‘가라앉은’ 개념들을 평소에 미리미리 ‘들뜬’ 상태가 되도록 해야 하는 것입니다.
그러면 우리는 개념들을 어떻게 ‘들뜬’ 상태가 되게 할까요? 바닥에 있는 먼지는 바람이 불면 날아가서 다시 공중에 떠있게 됩니다. 마찬가지로 가라앉은 개념들을 들뜨게 하려면 자극이 필요합니다.
개념을 다시 복습해주는 것도 한 방법이 될 수 있습니다. 하지만 계속 복습할수록 머리에 자극되는 크기가 줄게 됩니다. (재미있는 영화도 자꾸 보면 재미가 줄게 되죠.) 바람이 부는 세기가 작으면 먼지도 그만큼 조금 공중에 떠오르다가 도로 내려앉을 것입니다. 마찬가지로 머리에 자극되는 크기가 줄게 되면 잠시나마 들떠있던 기억은 얼마 안돼서 다시 가라앉게 될 것입니다.
또 다른 방법을 추천해드리겠습니다. 바로 누군가를 가르쳐주는 것입니다. 여러분은 어떤 사람에게 어떤 것을 가르쳐줄 때 여러분 자신이 잘 아는 것은 그냥 생략하고 가르쳐줍니까? 아닙니다. 자신이 알더라도 남이 모르면 세세한 것 하나하나 떠올려가며 설명해야 합니다. 또한 자신이 설명할 순서에 맞게, 논리적으로 떠올립니다. 바로 이 때 우리들은 그동안 가라앉아 있던 개념들을 다시 들뜨게 하는 것입니다. 또한 들뜬 개념들을 관련 있는 것끼리 연결(connecting)하게 됩니다. 그리고 자신이 가르쳐주는 것이야말로 큰 자극이 아닐 수 없습니다. 남에게 가르쳐준 것은 잘 잊어먹지 않는다고 하죠. 수학 선생님들께서 수학 문제를 잘 푸시는 이유가 따로 있는게 아닙니다.
이러한 방법들을 사용하여 여러분 안에 잠들어있는 개념을 자극하십시오.
2. 유형화
많은 사람들은 유형 학습의 폐해를 생각합니다. 한계가 있다고 생각합니다. 맞습니다. 유형학습만으로는 한계가 있습니다. 그럼에도불구하고 유형 학습은 필요합니다. 수학 문제는 그 문제를 낼 수 있는 경우의 수는 이론적으로는 무궁무진합니다. 하지만 현실적으로, 그리고 통계적으로 우리의 교육과정에서 배우는 수학 내용을 수능 형식으로 만들 때는 어느 정도의 방향성을 가질 수 밖에 없습니다. 대부분의 기본서를 보면 문제를 유형별로 분류해놓았습니다. 이것은 자주 나오는 패턴을 실어놓은 것이기도하지만 바로 우리가 배운 개념이 이런 식으로 나오게 된다는 방향성을 보여주는 것이기도 합니다.
1)유형 학습은 마치 도구들의 성질을 이해하는 것과 같다.
수학 문제는 유형에 따라서 푸는 방법이 달라집니다. 그러므로 이런 유형에는 어떤 방법을 쓰는 것이 좋고, 또 이런 유형에는 어떤 방법이 가장 효과적인지 공부하는 것이 바로 유형학습입니다. 물론 문제를 푸는 방법에는 한 가지 방법만 있는 것은 아닙니다.
2)유형 학습은 많은 문제들을 분류하기 위함이다.
모든 문제를 분류할 수는 없지만 많은 문제를 분류할 수 있습니다. 적을 알고 나를 알면 백전백승이라는 말이 있듯이, 문제가 어디에 속해있고 어떤 유형인지 분류할 수만 있다면 그 문제의 반은 이미 풀었다고 할 수 있는 것입니다.
3. 탈유형화
상위권학생들이 그토록 노력하고 있는 것을 한마디로 표현하자면 그것은 바로 ‘탈유형화’입니다. ‘탈유형화’ 단계는그동안 하고 있었던 유형 학습 방법을 버리는 단계가 아닙니다. 유형 학습을 하면서 생기게 된 한계를 극복하는 단계입니다.
유형 학습을 하면 할수록 점점 많이 보던 문제와 그렇지 않은 문제가 확연히 갈라집니다. 그리고 문제가 생소할 수록 당황하게 됩니다. 수능 문제가 어렵다고 하는 이유는 바로 우리에게는 생소한 문제가 많이 출제되기 때문입니다. 그러므로 수능 고득점을 위해서는 ‘탈유형화’ 단계가 반드시 필요한 것입니다.
이러한 유형 학습의 한계를 극복하기 위한 많은 노력들이 있습니다. 어떤 사람들은 개념으로 돌아가라고 합니다. 그 말이 맞습니다. 아무리 어려운 문제라고 해도 결국은 개념에서 시작되는 법입니다. 그리고 문제가 생소할수록 그 문제의 매듭을 풀 수 있는 핵심 개념 하나만 파악하게 되면 간단히 풀리는 경우가 많습니다.
또 다양한 방법으로 문제를 풀라고 합니다. 이것은 아주 좋은 방법이고 문제를 풀 때 반드시 필요한 자세입니다. 이 방법은 다음 장에서 좀 더 자세히 언급하겠습니다.
1) ‘탈유형화’를 위한 또 한가지 방법-스스로 문제를 만들어보라.
여러분이 문제집에서는 보지 못했던 생소한 문제들을 스스로 만들어보는 것입니다. 문제를 많이 풀다보면 시중에 나오는 많은 문제들은 거의 다 비슷한 패턴이라는 것을 알게 됩니다. 그러다보면 신선한 문제는 없나하고 찾아보게 마련이죠. 만약 여러분이 이런 단계에 이르렀다면 스스로 문제를 만들어보는 것도 좋은 방법이라고 생각됩니다. 저는 이 방법을 즐겨 사용했는데 저의 예를 들어보겠습니다. 지수로그 문제하면 흔히들 생각할 수 있는 유형이 바로 ‘반감기’와 관련된 문제일 것입니다. 저는 반감기와 상대되는 개념은 없을까하다가 언젠가 ‘인구배가연수’라는 생물학적 용어를 알게 되었습니다. 인구배가연수는 간단히 말하면 인구가 두배가 되는 데 걸리는 시간을 말합니다. 그러니까 반감기와는 정 반대되는 개념인 것이죠. 그래서 저는 이것으로 다음과 같은 문제를 만들어 보았습니다.
인구 배가연수는 인구가 증가하여 두 배가 되는데 걸리는 연 단위의 시간을 말한다. 이론상 인구는 기하급수적으로 증가하며 인구 증가율은 출생률과 사망률의 영향을 받는다고 한다.
인구수(N)은 전년도 인구수(N')와
N=(b-d)N' (b는 출생률, d는 사망률, b>0, d>0)
의 관계를 이룬다고 한다. 인구 배가연수가 40년이었던 어느 나라의 인구가 두 배로 증가한 이후에 급작스런 환경의 변화로 출생률은 두 배로 증가하고 사망률은 절반으로 감소하였고 인구 배가연수는 1/5로 감소하였다고 한다. 감소한 출생률(b)는 얼마인가?
(단, log 2=0.3으로 계산하고 log 1.018=0.0075, log 1.091=0.00375로 계산한다.)
① 0.352 ② 0.381 ③ 0.388 ④ 0.432 ⑤ 0.512
이런 식으로 여러분이 평소에 접하지 못했던 문제를 스스로 만들어보는 것입니다. (이 문제를 만들기 위해서 저는 일반생물학 책까지 찾아보았는데 그렇게까지 할 필요는 없습니다.) 문제를 많이 풀다보면 ‘아 이런 식으로 문제를 내면 좋겠는데’하는 생각이 들 때가 있습니다. 많은 사람들은 그러한 생각이 있어도 그 생각을 그냥 흘리거나 스쳐지나쳐버립니다만 그것을 문제로 만든다면 상당히 신선한 문제가 될 수도 있습니다. 그리고 그것 자체가 신유형을 접하는 것이고, 우리가 흔히 아는 유형에서 벗어나는 공부를 하는 것입니다. 물론 문제를 만드는 데는 어느 정도의 실력이 필요합니다. 또한 문제를 만들때는 많은 시간과 노력이 듭니다-문제를 만들때 발생하는 실수나 오류를 없애기 위해서 많은 생각을 해야합니다. 그리고 수능 문제처럼 간결한 문장을 만들기 위해서 하는 고민들(어떻게 하면 더 좋은 표현이 될까하는 고민들)은 실제로 수학 학습과는 관련성이 떨어지는 것이 사실입니다. 하지만 그만큼 얻는 것도 많습니다.
가장 중요한 것은 출제자의 관점을 잘 파악할 수 있다는 것입니다. 문제를 많이 만들다보면 출제자들이 왜 문제를 이런 식으로 만들었는지 이해하게 되고, 세세한 약속이나 암묵적인 조건들도 알 수 있습니다. 또한 (문제의 오류를 수정하는 과정에서)스스로 생각하는 힘을 기르게 됩니다. ‘만약 이런 경우를 가지고 문제제기하면 어떻게 될까?’, ‘이런 오류가 생기는데 이것을 어떻게 커버해서 문제를 만들지?’하고 고민하는 과정에서 자신도 모르는 실력이 쌓이게 됩니다.
무조건 문제를 만들라고 강요하는 것은 아닙니다. 어찌보면 비효율적인 일일 수도 있습니다. 하지만 너무 패턴화된 문제만을 풀다가 지치셨다면 한 번 시도해보는 것도 좋을 것 같습니다.
ꁱ거점개발 & 학업리모델링
수학 공부를 할 때도 거점개발 방식이 유효합니다. 거점개발 방식은 몇 가지 부문만을 골라 집중적으로 투자(공부)하는 것을 말합니다. 그리고 거점개발 방식은 투자가 다 이루어 진 후에는 다른 부문으로 옮겨서 투자를 하게 됩니다. 수학 공부도 마찬 가지 입니다. 한 단원을 확실히 해놓고 다른 단원으로 넘어가는 방법을 사용하는 것이 필요합니다.
누구나 수학에서 자신이 약한 단원, 약한 곳이 있기 마련입니다. 사람들은 틀린 문제를 다시 또 틀리는 경향이 있습니다. 시험을 볼 때도 마찬가지 입니다. 자신이 잘 못하는 부분을 틀리는 경향이 있죠. 하지만 막상 공부할 때는 약점만을 공부하지는 않게 됩니다.
학업리모델링이라는 말이 있습니다. 이 말은 이미 자신이 배운 내용 중에서 부족한 부분만을 골라서 보충해주는 공부방식을 말합니다. 수학을 공부할 때도 이 공부방식이 매우 유효하다고 생각합니다. 그리고 수능 날이 가까워질수록 가장 그 효율을 발휘하는 방법이기도 합니다. 공부하다보면 자신이 어디가 부족한지 파악해서 그 부분을 위주로 공부하는 것이 필요합니다.
ꁱ아침의 수학 & 1시간 40분 수학
많은 사람들이 오전에 수학 문제를 풀면 하품이 나오고 잘 풀리지 않습니다. 우리에게는 하루 중 몸의 컨디션이 최고가 되는 시간이 있습니다. 어떤 사람은 정오쯤에 컨디션이 좋아져서 머리가 잘 돌아간다고 합니다. 또 저녁이 되어야 공부가 잘되는 사람도 있습니다. 하지만 우리는 모두 같은 시간 10시 40분에 수리영역 시험을 보게 됩니다. 그러므로 이 때가 최적의 상태가 되도록 해야 합니다.
저는 시험을 보면서 제가 오전 시험 보다는 오후 시험을 잘 본다는 것을 알게 되었습니다. 모의고사도 오전에 보는 수리영역을 볼 때는 평소보다 약간 머리가 깨어있지 않다는 것을 느꼈습니다. 그래서 수능 날이 가까워지면서 저는 생활리듬을 조금씩 앞당겼습니다. 잠도 조금 더 일찍 자서 일찍 일어났습니다. 수학공부도 오전에 틈만 나면 계속 했습니다.
또 저는 이렇게 생각했습니다. 수학 시험은 1시간 40분 동안 봅니다. 하지만 학교를 다닐 때 학교 수업시간은 50분밖에 안 됩니다. 제가 다니던 학교에서는 자습시간이 길어야 1시간 20분이었습니다. 학원을 다닐 때도 자습시간은 1시간 20분이었습니다. 저는 시험을 볼 때 집중력이 떨어지는 형상이 생기게 된 이유가 바로 여기에 있지는 않은가 생각하게 되었습니다. 그래서 한 번 공부할 때는 항상 1시간 40분을 꼬박 지켰습니다. 그렇게 하다보니 쉬는 시간에도 해야 하는데 쉬는 시간에는 시끄러워서 집중을 잘 할 수가 없더군요. 아무튼 쉬는 시간에는 이어폰을 끼든지 해서 1시간 40분 논스톱 공부를 꾸준히 했습니다. 지금 와서 보니 그것이 많은 도움이 된 것 같습니다.
공부도 최대한 시험을 고려하면서 공부하는 것이 당연지사입니다. 시험이 가까워질 수록 시험리듬을 거스를 생활습관은 바꾸시는 것이 좋습니다. 그리고 ‘아침의 수학’, ‘1시간 40분의 수학’--수능이 가까워지면서 제가 마음 속에 갖고 있던 수학 모토였습니다. 여러분도 여러분의 경험에서 우러나는 수학모토를 만드십시오.
ꁱ수리영역의 세가지 큰 흐름
수능 수리영역에는 세가지 큰 흐름이 있다고 합니다. 그것은 바로 함수, 도형, 그리고 경우의수(확률, 통계)인데 이 세가지 흐름을 중심으로 언급하고자 합니다.
1. 함수
함수와 도형과 경우의 수 중에서 가장 공략하기 쉬운 것을 고르라고 하면 저는 함수를 고를 것입니다. 함수의 가장 큰 특징은 바로 그 ‘예측성’에 있습니다. 이 예측성이 있기에 우리는 어렵지 않게 함수 공부를 하는 것입니다. 수능에는 많은 함수들이 등장하는데 각 함수마다 독특한 성질이 있습니다. 우리가 공부하고 있는 것은 바로 이 함수들의 독특한 성질들을 배우는 것입니다.
2. 도형
우리는 도형의 기초를 중학교 때부터 배우기 시작합니다. 그래서 중학교 시절에 제대로 공부해 두지 않은 학생은 고등학생이 되면서 배우는 수학 10-나를 공부할 때 많이 어려워하는 것입니다. 우리가 배우는 도형과 관련된 중학교 교육과정에서는 수능에 직결된다는 보장은 없지만 그렇다고 해서 몰라서는 안 될 내용들이 많이 포함되어 있습니다. 시간이 촉박하지 않으시다면 중요한 부분 만을 골라서 봐두시는 것도 좋을 것 같습니다.
도형문제의 기본은 ‘발견’에 있습니다. 도형이나 그림 속에서 우리가 배웠던 개념(피타고라스 정리라든지, 삼수선 정리등등)을 발견할 때, 그 문제의 반을 맞히는 것입니다.
(1)공간도형, 공간좌표, 그리고 벡터(수리가형)
공간도형, 공간좌표, 벡터는 수2의 제일 뒤쪽에 나오는 단원이고 우리 학생들도 수2에서 가장 마지막으로 배우고 있습니다.
그런데 이 단원들은 각 단원에서 배우는 소단원의 개념들(예를 들면 삼수선 정리나 도형의 결정 조건)의 연계성이 다른 단원에 비해서 떨어집니다. 그래서 많은 학생들이 이 쪽 단원들을 공부하는데에 여러 가지 어려움을 겪게 되는 것입니다. 저도 처음 공부할 때는 공부의 갈피를 잡지 못했습니다.
이렇게 공부하는 것은 어려운데 막상 시험은 또 그렇지가 않습니다. 수능에서는 어려운 단원을 쉽게 내서 균형을 맞추는 것이 일반적이지만 이 쪽 단원들은 원래의 난이도 그대로를 유지해서 출제가 되는 경향이 있습니다. 출제자들은 다른 단원과 비슷한 난이도로 출제하지만 이 단원에 익숙하지 않은 우리들은 이 단원 문제들을 아주 어렵게 느끼게 되는 딜레마에 빠지게 됩니다.
하지만 그렇다고해서 이 단원이 마치 공간지각력이 타고난 사람 만이 정복할 수 있는 단원은 아닙니다. 공간지각력은 어느 정도만 있어도 충분합니다. 중요한 것은 우리가 배운 개념들을 자유자재로 구사할 수 있느냐하는 것입니다.
예를 들어보겠습니다. 우리는 흔히 3차원 좌표인 x, y, z좌표를 평면에서 그릴 때 x축은 남서쪽으로 향해 뻗쳐서 그리고, y축은 동쪽을 향해, z축은 북쪽을 향해 뻗쳐서 그립니다. 그런데 항상 이렇게만 해야하는 것일까요? 우리가 물체를 볼 때 한 면만을 보지 않고 이리저리 돌려보듯이 x, y, z축을 바꿔가면서 관찰한다면 더 많은 정보를 얻을 수 있는 것입니다. (여러분이 한 번 x축은 동쪽방향으로하고, y축은 북서쪽, z축은 북쪽으로 해보시고 평소에 그렸던 방법과 비교해 보십시오. 또 x축의 양의 방향을 반대로 해서 그려도 됩니다.)
또다른 예를 들어보겠습니다. 이번에는 제가 만든 문제를 소개해드리겠습니다.
좌표공간에서 한 교선에서 만나는 두 평면 α: 2x+y+z-7=0, β: y-z+1=0은 공간을 네 개의 부분으로 나눈다. 이 부분들 중 어느 한 부분을 임의대로 선택하여 ‘제 1영역’이라고 하고 나머지 세 부분을 각각 ‘제 2영역’, ‘제 3영역’, ‘제 4영역’으로 정하되, 제 1영역으로부터 반시계 방향으로 차례대로 제 2영역, 제 3영역, 제 4영역으로 하자.
다음 <보기>에 있는 다섯 개의 점 중, 서로 이웃하지 않은 영역, 즉 제 1영역과 제 3영역 또는 제 2영역과 제 4영역 관계에 있는 점들을 짝지어 모두 구하면?
(단, 네 부분의 경계가 되는 평면위의 점은 어느 영역에도 포함시키지 않는다.)
-<보기>------------------------------------------------------------
A(1,1,1), B(2,3,5), C(0,3,4), D(1,3,3), E(0,1,3)
--------------------------------------------------------------------
①점A와 B 또는 점C와 D
②점A와 B 또는 점D와 E
③점A와 E 또는 점B와 D
④점B와 D 또는 점C와 E
⑤점B와 E 또는 점C와 D
혹시 이 문제를 풀면서 느끼신 것이 있지 않습니까? 우리는 그동안 다른 사람이 정의해온 대로 공간을 보았고 이해했습니다. 하지만 이 문제는 우리가 스스로 공간을 정의해야 합니다. 결국 공간을 우리의 임의대로 정해도 어떤 성질이 성립될 수 있다는 것을 보여드리고 싶어서 이 문제를 소개해드렸습니다. 여러분 모두 자유로와지십시오. 정사영, 제2코사인법칙도 공간에서 자유자재로 구사하는 것도 중요하지만 공간 자체를 이렇게 자유롭게 볼 수도 있어야 합니다.
공간도형, 공간좌표, 벡터 이 세 단원 중에서 또 가장 어려워 하는 과목을 고르라고 하면 아마도 많은 사람들이 벡터를 꼽을 것입니다. 하지만 벡터라는 개념은 우리의 일상에서 많이 접할 수 있는 친숙한 개념입니다. 단지 그것을 명확히 인식하지 못한 것 뿐이죠. 또한 벡터는 스칼라 개념까지 포괄할 수 있는 더 기본적인 개념입니다. 수식으로는 어렵게 증명해야하는 여러 가지 공식들을 벡터를 사용하면 쉽게 증명할 수 있는 이유가 이에서 비롯한다고 생각됩니다. 벡터를 고급응용단원이라고 생각하지 마시기 바랍니다. 벡터 단원을 공부할 때는 각 소단원을 배울 때마다 이 단원은 왜 배우는지 명확히 짚고 넘어가셔야 합니다. 그렇게 해야 오래 기억할 수 있고 나중에 자유자재로 구사할 수 있는 단계로 넘어갈 수 있습니다. 그리고 결국 벡터를 배우는 최후의 목적은 직선과 평면의 방정식을 유도하는데에 있습니다. (결국 공간 좌표 개념의 완성을 위한 것이죠.)하지만 벡터 단원을 배우는 과정에서 배우게 되는 소단원마다 시험에 나올 수도 있으므로 공부할 때는 이 소단원들도 무게있게 공부하셔야 합니다.
3. 경우의수, 확률, 통계
우선 말씀드리고 싶은 것은 경우의수나 확률 공부를 할 때는 자신만의 관점을 확실하게 확보하셔야 된다는 것입니다. 이 쪽 단원 문제의 풀이법은 다양합니다. 원순열 만을 생각해봐도 맨처음에 임의의 사람을 앉혀서 생각하는 방법이 있고, 사람을 모두 앉힌 뒤에 겹친 만큼 제하는 방법도 있습니다. 이렇게 다양한 풀이방법 속에서 여러분은 하나의 관점을 가지고 여러분만의 문제풀이 체계를 만드시는 것이 중요합니다. 여러분이 가지고 있는 관점을 확장시켜서 다양한 사례에 적용시킬 수 있어야 하는 것입니다.
통계 부분도 소홀히 해서는 안 됩니다. 많은 학생들이 통계 부분을 다 배워도 개념 자체를 혼란스럽게 생각하고, 잘 이해하지 못합니다. 심지어 모평균 표본평균, 표본평균의 평균을 구분하지 못하고, 모분산, 표본의 분산, 표본평균의 분산을 구분하지도 못합니다. 그것은 각 소단원의 연계성을 제대로 파악하지 못했기 때문입니다. 연계성을 파악했다면 명확히 구분할 수 있고 우리가 그 단원들을 배우는 목적까지 이해할 수 있습니다.
여러분은 표본평균의 성질을 왜 배운다고 생각합니까? 그것은 모평균을 추정하기 위해서 배우는 것입니다. 이것이 가장 큰 줄기라고 할 수 있습니다. 정규분포, 표본평균, 신뢰구간 등은 이 큰 줄기를 따라서 뻗어나온 가지들이라고 볼 수도 있습니다. 이렇게 단원들의 연계성이 파악되어야 합니다.
ꁱ한 문제에서 수많은 정보를 도출해낼 수 있다.
처음에 언급한 내용이지만 좀 더 자세히 말씀드리려고 합니다. 바로 예를 들어서 설명해드리겠습니다. 수학1의 상용로그에 관한 문제입니다.
실수 x 에 대하여 3^x 이 30자리 정수일 때 2^x 은 몇 자리 수인가?
(단, log 2=0.3010, log 3=0.4771)
여기서 하나 묻겠습니다. 이런 문제는 왜 항상 밑이 큰 수(3^x)의 자리 수를 알려준 뒤에 밑이 작은 수(2^x)의 자리 수를 묻습니까? 몰론 간단히 생각해서 만약에 2^x 의 자리수를 알려주고 3^x 의 자리수를 물어본다면 수가 더 커지므로 알기 어렵게 된다는 것을 짐작할 수 있을 것입니다. 이것을 수식을 사용해서 좀 더 정확히 알아보겠습니다. 우리는 이 문제를 이렇게 풉니다.
우선, 3^x 이 30자리 수이므로
29 < x곱log 3< 30
이라는 식이 성립할 것입니다. 또 log 3=0.4771이므로
양변을 log3으로 나누면 결국
29/0.4771 < x < 30/0.4771
이 될 것이고. 여기에 다시 log 2(=0.3010)를 붙이면 결국
29곱0.3010/0.4771 < x곱log 2 <30곱0.3010/0.4771
이 될 것입니다. 분수를 모두 소수 꼴로 고치면
18.3 < x곱log 2 < 18.9
가 되어 우리는 답이 19 자리 수라는 것을 알게 됩니다.
이것은 결국 x에 관한 부등식에 0.3010/0.4771을 곱한 격이 됩니다.
이 값을 H라고 해봅시다. 그러면 부등식은
29H < Hx <30H
가 되는데 30H 에서 29H 를 빼면 남는 것은 결국 H뿐입니다. 이 말은 만약 H가 1보다 작으면 두 수의 차이도 1보다 작다는 말이 되는 것이죠. 그러면 H가 1보다 크면 어떻게 되겠습니까? 물론 두 수의 차이는 벌어져서 1보다 크게 될 것입니다. 그래서 실제로 이 문제를 거꾸로 ‘2^x 의 자리수가 30 자리일 때 3^x 의 자리수‘를 구하려고 계산하면 결국
45.96 < x곱log 3 < 47.55
가 되어서 답이 두 개 이상이 되므로 정확히 몇 자리의 수인지 구할 수 없게 됩니다.
(참고로 부등식의 왼쪽에는 등호를 포함시켜서 풀기시작했어야 했는데 이 웹페이지가 수학 기호를 인식하지 못해서 그냥 등호가 없는 부등호를 사용했습니다.)
아까 글을 시작하기에 앞서 말씀드렸듯이 수학이라는 과목은 한 문제를 가지고 수많은 정보와 사실들을 도출해낼 수 있습니다. 푼 문제에서 혹시 다른 새로운 정보, 새로운 문제를 만들 수는 없는지 고민해보시기 바랍니다. 실제로 출제자들도 이러한 방법을 사용하여 문제를 만들기도 합니다. 흔히들 출제자는 아주 뚜렷한 목적을 가진 뒤에 문제를 만든다고 생각하시는 분들이 많습니다. 하지만 출제자들도 기존에 있던 문제나 여러 가지 정리를 보고 발상을 떠올려서 문제를 만드는 경우가 많습니다.
ꁱ문제를 돌아가게 하는 정확한 메커니즘을 이해하라.
아주 간단한 예를 들어보겠습니다.
어떤 문제에서 두 원의 방정식이 주어지고 그 두 원의 공통 내접선의 길이를 구하라는 문제가 나오면 그 두 원은 서로 만나지 않고 있는 상태라는 것일 겁니다. 이 문제를 푸는 사람은 아마도 그림을 그리겠지요. 그런데 만약에 어떤 사람이 두 원을 두 점에서 만나게 그려놓고 문제를 풀려고 하면 어떻게 되겠습니까? 물론 설마 그럴 사람은 없겠지만 만약에 그렇게 그렸다면 절대로 문제를 풀지 못할 것입니다.
메커니즘을 정확히 알아야 푸는 문제들이 많습니다. 규칙을 찾아야하는 수열이나 무한급수 단원은 말할 것도 없고, 문장형 문제, 증명 문제-이것들 모두가 메커니즘을 알아야 풀 수 있습니다. 단순히 공식에 때려넣고 풀리는 문제는 많지 않습니다.
문제 속에 숨어있는 메커니즘을 정확히 파악하는 것이 중요합니다. 기계의 한 가지 부품이라도 빼먹으면 삐걱이고 돌아가지 않듯이, 문제를 이루고 있는 모든 요소 하나하나가 중요한 것입니다. 정확히 파악하셔야 합니다. 그래서 사용하지 않은 조건도 모두 활용하라는 말이 있는 것입니다. 그리고 ‘대충 감으로 때려잡아서’ 문제를 풀었다면 문제를 푼 뒤에라도 어떻게 해서 그 문제가 풀렸는지 정확히 따져봐야 합니다.
ꁱ문제를 푸는 것은 결국 출제자와 대화하는 것이다.
문제를 풀어서 답을 내고도 무언가 아쉬울 때가 많습니다. 그럴 때 좀 더 따져보고 다른 방법으로도 풀어보면 ‘아하’라는 감탄이 나오면서 ‘출제자가 이걸 노리고 문제를 냈구나’하는 생각이 들게 됩니다. 우리는 여기서 알 수 있는 사실이 하나 있습니다. 바로 문제 속에는 출제자의 의도가 들어있다는 것입니다. 그러므로 우리는 수학 문제를 볼 때 마치 기계나 완전무결한 컴퓨터를 보듯이 하면 안 되는 것입니다.
문제를 풀고있는 우리는 결국 출제자와 대화를 하는 것입니다. 출제자의 머리 속에 들어있는 지식이나 능력을 어느 정도 전수받는 과정인 것입니다. 출제자와 대화하려고 하십시오. 여러분이 자주 쓰는 방법만 골라서 쓰지 마시고, 출제자가 원하는 방법이 무엇일까 고민하십시오. 이것이 소통하는 공부방법입니다.
ꁱ최단거리로 풀기
제목에 약간 어폐가 있지만 그대로 사용하겠습니다.
수능 수리영역 문제의 가장 큰 특성 중 하나는 바로 ‘통제된 개방성’입니다. ‘개방성’은 어느 수학문제에나 있는 성질입니다. 어떤 식으로 풀어도 같은 답이 나오는 성질을 말하죠. 그런데 이 단어 앞에 ‘통제된’이라는 말이 붙은 이유는 수능 출제자가 이 ‘개방성’을 의도적으로 통제하고 있기 때문입니다.
(모든 문제가 다 그런 것은 아니지만)수능 문제를 출제자가 의도한 방법이 아닌 다른 방법으로 풀려고 하면 문제가 풀리지 않거나 그 풀이과정이 지나치게 복잡하게 됩니다. 의도한 대로 풀면 몇 줄도 안돼서 답이 나오는 경우가 많습니다.
이러한 점에서 최단거리로 문제를 푸는 것, 즉 풀이과정이 길지 않은 방법을 찾아 문제를 푸는 것이 수능 수리영역이 지향하는 바와 일치한다고 볼 수 있습니다.
ꁱ마음먹기에 따라서 한 문제를 더 풀기도 한다.
문제를 본격적으로 풀기전에 대충 읽어보다가 ‘이게 말이되나? 안 되는거 아닌가?’하고 문제자체의 앞뒤가 맞지 않는 것 같다는 생각이 들면 그 때부터 답답해지고 막상 문제를 풀려고해도 잘 안풀리는 경우가 있습니다. 또 이러한 경우도 있습니다. 문제를 보자마자 갑자기 어렵다는 생각이 들면서 겁이나고 문제에 잘 접근하지 못합니다. 바로 이러한 때가 생각이 ‘닫힌’ 상태입니다. 이렇게 생각이 ‘닫힌’ 상태에서는 문제를 창의적으로 풀 수 없습니다. 우리는 생각을 열어야합니다.
생각을 열기 위해서는 시험에 어떠한 형식의 어떠한 문제가 나와도 문제 그대로를 받아드릴 수 있는 마음자세가 중요합니다. 시험이 어렵게 나와도 ‘어려우면 얼마나 어렵겠어, 충분히 공부하면 풀 수 있는 문제가 나올거다’하는 마음자세가 필요한 것입니다.
결국 우리의 마음먹기에 따라서 한 문제를 더 풀기도 하는 것입니다.
ꁱ처음 풀 때 잘 풀어야
시험을 볼 때 수학이라는 과목이 가진 좋은 점은 바로 검산을 할 수 있다는 것입니다. 자신이 낸 답을 가지고 문제에 맞는지 확인해보거나 다른 방법으로 풀어서 같은 답이 나오는지 확인 할 수 있습니다. 그래서 혹자들은 수능 시험을 볼 때 무조건 빨리빨리 풀어서 한 번 더 풀어보는 것이 좋다고 말합니다. 그리고 실제 수능 시험을 볼 때 두 번을 푸는 사람도 있습니다. 저도 한 때는 30분씩 시간을 남겨서 다시 풀곤 했습니다.
하지만 수능시험은 우리가 보는 어느 시험보다도 더 시간이 촉박하게 느껴지는 시험입니다. 이러한 촉박감이나 긴장감 때문에 우리는 수리영역 모의고사 등을 볼 때 문제를 다시 풀어도 처음 풀 때와 같은 사고과정을 밟는 경향이 있습니다. 심지어 처음 풀 때 실수한 문제를 다시 풀어도 같은 실수를 반복하는 경우도 생깁니다. 또한 다시 풀어서 실수한 문제를 찾아내겠다는 자세로 문제를 풀면, 막히는 문제는 성급하게 넘어가고 문제를 풀었지만 틀린 답이 나와도 답이 나왔다는 이유로 다음 문제로 넘어가는 경향이 있습니다. 그래서 처음 풀 때 잘 풀겠다는 자세가 필요한 것입니다. 문제를 처음 볼 때 답이 나오는 끝까지 집중하셔서 문제를 푸시기 바랍니다.
ꁱ모든 문제의 주관식화
많은 문제집이 객관식과 주관식의 문항비율이 맞지 않습니다. 보통 객관식은 우리가 보는 시험에 맞추어 70퍼센트의 비율을 유지하는 것이 좋을 것입니다. 하지만 많은 문제집들은 이 비율을 지키고 있지 않습니다. 심지어 객관식이 전체 문제의 80에서 90퍼센트를 차지하는 경우도 있습니다. 객관식 문제는 보기가 있습니다. 흔히들 문제를 풀다가 자신이 낸 답이 맞는지 볼 때에 문제 보기에 그 답이 들어있는지 확인을 하게 됩니다. 이런 안일한 습관에 길들여져 있다보니 객관식 문제는 그럭저럭 맞혀도 주관식 문제는 틀리게 됩니다. 그리고 그러고도 사람들은 ‘실수로 아쉽게 틀렸다’고 생각하며 넘어갑니다. 어쩔 도리가 없다고 생각합니다. 이런 습관을 한 가지 방법을 소개해드리겠습니다.
‘모든 문제를 주관식으로 바꿔라.’
방법은 간단합니다. 문제집에 나오는 객관식 문제의 보기를 모두 보이지 않게 가리면 됩니다. 수정 테이프를 쓰거나 컴퓨터 사인펜을 써서(이것들은 보기에는 좋지 않습니다.)보기가 완전히 보이지 않게 만듭니다. 그리고 정답은 해설지에 나와있는 답을 보는 것입니다. 대부분의 해설지에는 답까지 있습니다. 물론 번거롭고 시간이 조금 걸리지만 그만큼 얻는 것도 많습니다. 객관식 문제는 잘못 풀어도 보기에 답이 없으면 다시 풀게 됩니다. 하지만 이렇게 하면 조금만 잘못 풀어도 바로 틀리게 되기 때문에 신중하게 문제를 풀게 됩니다. 또한 문제를 풀어서 답을 낸 뒤에 항상 보기를 보며 답이 맞는지 확인하는 습관도 없어지게 됩니다. 그리고 사실 저의 경험으로는 모든 문제를 주관식으로 바꾸는 것 보다는 답이 정수로 떨어지는 것을 가리는 것이 더 좋은 것 같습니다.
글을 마치며..
고3이 되어 맞은 3월 입학식 첫 날, 남들은 이제 고3이 되었다고 부리나케 공부를 하기 시작했는데, 그저 책상에 멀뚱멀뚱히 앉아서 하늘만 처다보던 제 친구가 있었습니다. 제가 왜 그러느냐고 물어보니 그 친구는 자신이 고3이 된 것이 실감나지 않는다고 하고, 공부를 해야겠다는 의욕도 생기지 않는다고 말했습니다. 저는 이해가 가지 않았습니다. 저는 당연히 고3이 되었으니 눈에 불을 켜고 공부해야하는 것이 아니냐는 생각을 했습니다.
그 친구는 며칠을 공부도 하지 않고 가만히 있었습니다. 그러더니 며칠 뒤부터 공부를 하기 시작했습니다. 그리고는 그 자리에서 움직이지 않고 공부만 하는 녀석이 되어버렸습니다.
9월 10월이 되어서 우리들은 모두 지치게 되었습니다. 점심시간에도 밥을 먹으며 책을 보던 습관은 버리고 운동장 벤치에 나가 앉아서 친구들과 잡답이나 늘어놓으며 스트레스를 풀었습니다. 하지만 그 친구는 여전히 변함없이 공부만 할 뿐이었습니다.
첫 수능을 보게 되었습니다. 저는 제 나름대로 쓴 맛을 보게 되었습니다. 다른 친구들도 알아보니 저마다 자신이 워하는 점수는 받지 못했다고 했습니다. 하지만 그 친구는 오히려 평소 모의고사보다 50점이나 더 높은 점수를 받게 되었습니다.
그 후에 저는 재수를 하게 되었습니다.
‘같이 공부를 했는데 왜 나는 일년을 더 공부해야하는 걸까?’하는 고민을 하게 되었습니다.
그리고 고민끝에 저는 그 이유를 알게 되었습니다.
그 친구는 자신의 페이스에 맞게 공부를 했던 것입니다.
3월달이 되어 남들은 분위기에 맞추어 열심히 공부하고 있는 사이에 그 친구는 공부할 준비가 되지 않았기에 자신이 왜 공부를 해야하는지 고민하고 있었던 것입니다.
9월 10월이 되어 남들은 지쳐가고 있을무렵, 점점 흐려지는 분위기 속에서 공부하고자하는 의욕을 잃어가고 있을 무렵, 그는 남들을 보지 않고 자신이 해야할 분량 만큼 공부하고 있었던 것입니다. 여러분은 여러분 만의 공부 페이스가 있습니다. 남들의 페이스에 휘말려서 여러분 자신의 페이스를 잃지 않도록 주의하십시오.
언젠가 제 동생과 장거리 경주 시합을 한 적이 있었습니다. 물론 800미터 육상부 출신이고 수험 생활은 한 번도 해보지 못한 동생에게 제가 이길 리가 없었습니다. 제 동생은 시합을 시작하자마자 벌써부터 저만치나 앞서갑니다. 하지만 저는 묵묵히 저의 속도를 유지한 채로, 꾸준히 고르게 숨을 내시며 달리고 있을 뿐입니다. 결국에는 동생이 답답했는지 다시 되돌아와서 왜 그렇게 천천히 뛰냐고 묻습니다. 하지만 저는 아무런 대답도 하지 않고 뛰기만 할 뿐입니다.
저는 제 동생에게
제가 배운 이 ‘페이스의 철학’을 가르쳐주고 싶었습니다.
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(p.s)저는 오래전부터 이 글을 쓰려고 마음먹었습니다. 좋은 글을 쓰기 위해 예전에 보았던 문제집도 다시 찾아보기도 했습니다. 그런데 오랫동안 공부를 하지 않은 공백기간 탓 때문인지 글이 마음대로 써지지 않더군요. 그리고 심지어는 내가 이걸 자랑하려고 쓰는 것은 아닌가 하는 생각도 들게 되어서 글쓰는 것을 그만두려고 했습니다. 며칠 전 어떤 학생이 저에게 ‘좋은 글을 써주셔서 감사하다’는 글을 남겼습니다. 그리고 그러한 격려에 힘입어 저는 다시 이렇게 글을 쓰게 되었습니다.
여러분,
수학시험 37점을 맞았던 사람이
노력해서 수학 천재라는 말을 들을 정도에 이르게 되었다면
여러분은 수학이라는 과목을
그저 타고난 사람들이나 정복할 수 있는 과목이라고 보겠습니까?
그 녀석이 바로 저였습니다.
비상은 땅에서부터 시작되기에 가치있는 것입니다.
아직까지 자신이 도달한 위치가 낮다고 좌절하지 마시고
그만큼 더 높이 비상할 수 있다는 것을 기쁘게 생각하십시오.
지금까지 저 Proto가 들려주는 이야기였습니다.
글을 시작하며..
저의 이야기를 들려드리고 싶습니다.
재수생 시절이었던 어느 날 저는 감기에 걸려서 감기약을 먹고 수학 공부를 시작했습니다. 약 기운 때문인지 그날따라 몽롱한 정신으로 문제를 풀게 되었습니다. 문제를 풀다가 어떤 문제에서 주어진 한 점의 XY좌표를 바꿔서 푸는 실수를 저질렀습니다. 그런데 문제를 다 풀고 보니 상당히 참신하고 깔끔한 문제라는 느낌이 들었습니다. ‘이런 문제도 있었나?’하면서 다시 문제를 살펴보다가 비로소 저의 실수를 알게 되었습니다. 제대로 풀고보니 원래의 문제는 자주 접하는 흔한 그런 유형의 문제였습니다. 오히려 실수로 그 문제를 바꾸었더니 더 새롭고 기발한 문제가 된 것입니다. 저는 그 날 이와 같은 일을 또 한번 겪었습니다.
그동안 저는 그냥 문제를 읽고 풀면 그것으로 끝인 공부를 했습니다. 아주 편했습니다. 실증이 나는 문제집을 빨리 해치울 수도 있었습니다. 고난도 문제는 그냥 어려운 문제집을 사서 풀면서 대비했습니다. 그렇게 하니 평가원 시험을 빼고는 성적이 좋게 나왔습니다. 하지만 저는 그 일을 계기로 저의 공부방식을 조금씩 바꾸게 되었습니다. 문제를 여러 가지 방법으로 풀어보고 문제에 나오는 여러 가지 조건들도 바꾸면서 공부하기 시작했습니다. ㄱㄴㄷ형 문제는 ‘ㄹ’, ‘ㅁ’, ‘ㅂ’ 보기까지 만들어보기도 했습니다. 그리고 문제만 보면 들입다 푸는 습관은 버리고 대신 마치 바둑을 둘 때 다음 수를 예측하듯 ‘왜 이런 문제를 냈을까?’하며 고민하게 되었습니다. 그리고 그런 노력으로 저는 수능시험에서 만족할 점수를 얻었습니다.
여러분, 문제집에 인쇄되어 있는 문제가 전부가 아닌 것입니다. 공부하는 방법만, 문제를 푸는 자세만 바꾸면 하나의 문제를 풀고도 열문제를 푸는 것 보다 더 많은 것을 알 수 있는 것입니다.
항상 좁게 좁게 공부하면서,
‘문제 풀고 땡’하는 식의 공부를 하면서,
수학이라는 과목을 그저 타고남에 치부했던 우리들에게
필요한 공부자세는 무엇인지 생각해보셨으면 좋겠습니다.
Proto의 <수리영역에 관한 이야기>
ꁱ수리영역 학습의 단계
수리영역 학습을 하는 단계를 여러 관점에서 나눌 수 있습니다. 그 중에서 저는 현실적으로 우리 수험생의 공부 단계를 잘 표현하는 관점을 선택하겠습니다.
1. 개념정리
말할 필요가 없을 것입니다. 여러 곳에서 외치고 있는 것이 바로 개념정리의 중요성입니다. 된소리하지는 않겠습니다. 그런데 많은 사람들이 개념정리는 말 그대로 기본서나 교과서에 나와있는 개념설명을 읽는 것이라고 생각하고 있습니다. 하지만 개념정리는 단지 그런 것에서만 한정되지 않습니다. 수학 과목의 특성상 개념정리를 한답시고 그저 개념설명만을 읽어서는 큰 효과를 보기가 어렵습니다. 따라서 우리가 배운 개념을 조금더 확실히 하고, 확장하기 위해서 문제를 푸는 것입니다. 많은 사례를 접하면서 자신이 가지고 있는 개념이라는 틀 속에 그 문제들을 일일이 가두는 작업이 필요한 것입니다.
(1)이해해야 할까? 외어야 할까?
물론 이해해서 외운다면 좋겠지만 수학 공부를 할 때 이 둘이 따로 가는 경우가 많습니다. 예를 들어 내분점 공식이 어떻게 해서 나왔는지는 이해가 되었는데 외우지 않아서 문제를 풀 때 즉시 생각나지 않는 경우가 있지요. 또 반대로 어떤 공식은 완전히 이해하지는 못했는데 자기도 모르는 사이에 외우게 된 경우도 있습니다. 그렇다면 이렇게 이해하는 것과 외우는 것이 따로 갈 경우에는 어떻게 해야 될 까요?
우선, 저는 이렇게 말하고 싶습니다. 외워야 할 것은 외워야 합니다. 방금 예를 든 것처럼 공식을 외우지 않고 이해만 한 뒤에 시험장에 가서 유도할 수는 없느 것입니다. 수학을 처음 공부하는 많은 사람들이 어떤 개념을 끝까지 이해하려고 노력하다가 끝내 포기하고 맙니다. 이해하지 못했더라도 외운다면 머릿 속에서 어느 정도 자리가 잡힌 것입니다. 또 외운 뒤에 몰랐던 것이 이해되는 경우도 있습니다.
하지만 이렇게도 말하고 싶습니다. 외울 것을 충분히 외웠고 이제 공부도 안정적으로 하고 있다면 자신이 외운 것을 따져보십시오. 이것은 왜 그렇고 또 이것은 왜 이런지 수식을 써서 증명해보십시오. 그렇게 해서 쌓은 지식이 시험장에서 즉시 많은 도움 주는 것은 아닙니다. 하지만 수리영역의 전반적인 부분을 폭넓게, 깊게 이해할 수 있게 해줍니다.
(2)반복? 반복!!
수학이라는 과목에서 예습이 어느 정도 통하는 것은 예습하는 것은 결국 반복을 하는 것이기 때문입니다. 처음 개념을 배울 때 천재가 아닌 이상 우리는 모든 것을 완벽하게 이해하지 못합니다. 또, 10을 배웠으면 적어도 3에서 4는 잊게 됩니다. 그러므로 반복학습을 하는 것입니다. 반복해서 공부하는 것은 마치 그림을 여러번 보는 것과 같습니다. 우리가 어떤 그림을 볼 때 한 눈에 보고 그 그림에 나온 내용을 모두 기억할 수는 없습니다. 한 번 보면우리의 머릿 속에는 대략 적인 윤곽만 떠오를 뿐입니다. 하지만 여러번 보면서 세부적인 내용들이 눈에 들어오고 전에는 포착하지 못했던 내용을 포착하게 되면서 머릿속의 그림이 온전히 이루어지게 되는 것입니다. 반복 학습을 하는 것고 이와 같은 이유에서 그렇습니다.
(3)내 안에 잠들어 있는 개념을 자극하라.
[공중에 떠다니는 먼지는 시간이 지나면 가라앉아서 움직이지 않게 됩니다. 들떠있을 때만 자유롭게 움직일 수 있습니다.]
우리는 매일 개념공부를 하지 않습니다. 개념이 어느 정도 잡혔다 싶으면 문제풀이에 들어갑니다. 문제를 풀 때는 문제풀이에 필요한 최소한의 개념만을 기억해내게 됩니다. 또한 우리는 같은 패턴의 문제를 자주 접합니다. 그러다보면 우리는 그 문제풀이에는 필요하지만 자신이 확실히 알고 있고, 이제는 너무 뻔하다고 생각하는 개념들은 생략하며(떠올리지 않으며)문제를 풀게 됩니다. 반복을 통해 학습, 암기가 된 상태죠. 이러한 우리의 공부방식 때문에 자주 쓰이는 개념들과 자주 쓰이지 않는 개념들이 확연하게 구분이 됩니다. 그리고 자주 쓰이지 않는 개념은 공중에 떠다니다가 시간이 지나 가라앉은 먼지와 같은 상태가 됩니다.
우리는 어떤 식으로 시험문제가 나올지 모릅니다. 우리들의 머리 속에 ‘가라앉아’ 있던 개념들이 시험에 나올 수도 있는 것입니다. 평소에는 잘 안다고 해서 생략하고 무시해버렸던 개념들이 막상 시험을 볼 때는 잘 생각이 나지 않는 겨우가 많습니다. 연습할 때 자신이 많이 쓰던 개념들만이 머리에 맴돌 뿐이죠. 결국 우리는 ‘가라앉은’ 개념들을 평소에 미리미리 ‘들뜬’ 상태가 되도록 해야 하는 것입니다.
그러면 우리는 개념들을 어떻게 ‘들뜬’ 상태가 되게 할까요? 바닥에 있는 먼지는 바람이 불면 날아가서 다시 공중에 떠있게 됩니다. 마찬가지로 가라앉은 개념들을 들뜨게 하려면 자극이 필요합니다.
개념을 다시 복습해주는 것도 한 방법이 될 수 있습니다. 하지만 계속 복습할수록 머리에 자극되는 크기가 줄게 됩니다. (재미있는 영화도 자꾸 보면 재미가 줄게 되죠.) 바람이 부는 세기가 작으면 먼지도 그만큼 조금 공중에 떠오르다가 도로 내려앉을 것입니다. 마찬가지로 머리에 자극되는 크기가 줄게 되면 잠시나마 들떠있던 기억은 얼마 안돼서 다시 가라앉게 될 것입니다.
또 다른 방법을 추천해드리겠습니다. 바로 누군가를 가르쳐주는 것입니다. 여러분은 어떤 사람에게 어떤 것을 가르쳐줄 때 여러분 자신이 잘 아는 것은 그냥 생략하고 가르쳐줍니까? 아닙니다. 자신이 알더라도 남이 모르면 세세한 것 하나하나 떠올려가며 설명해야 합니다. 또한 자신이 설명할 순서에 맞게, 논리적으로 떠올립니다. 바로 이 때 우리들은 그동안 가라앉아 있던 개념들을 다시 들뜨게 하는 것입니다. 또한 들뜬 개념들을 관련 있는 것끼리 연결(connecting)하게 됩니다. 그리고 자신이 가르쳐주는 것이야말로 큰 자극이 아닐 수 없습니다. 남에게 가르쳐준 것은 잘 잊어먹지 않는다고 하죠. 수학 선생님들께서 수학 문제를 잘 푸시는 이유가 따로 있는게 아닙니다.
이러한 방법들을 사용하여 여러분 안에 잠들어있는 개념을 자극하십시오.
2. 유형화
많은 사람들은 유형 학습의 폐해를 생각합니다. 한계가 있다고 생각합니다. 맞습니다. 유형학습만으로는 한계가 있습니다. 그럼에도불구하고 유형 학습은 필요합니다. 수학 문제는 그 문제를 낼 수 있는 경우의 수는 이론적으로는 무궁무진합니다. 하지만 현실적으로, 그리고 통계적으로 우리의 교육과정에서 배우는 수학 내용을 수능 형식으로 만들 때는 어느 정도의 방향성을 가질 수 밖에 없습니다. 대부분의 기본서를 보면 문제를 유형별로 분류해놓았습니다. 이것은 자주 나오는 패턴을 실어놓은 것이기도하지만 바로 우리가 배운 개념이 이런 식으로 나오게 된다는 방향성을 보여주는 것이기도 합니다.
1)유형 학습은 마치 도구들의 성질을 이해하는 것과 같다.
수학 문제는 유형에 따라서 푸는 방법이 달라집니다. 그러므로 이런 유형에는 어떤 방법을 쓰는 것이 좋고, 또 이런 유형에는 어떤 방법이 가장 효과적인지 공부하는 것이 바로 유형학습입니다. 물론 문제를 푸는 방법에는 한 가지 방법만 있는 것은 아닙니다.
2)유형 학습은 많은 문제들을 분류하기 위함이다.
모든 문제를 분류할 수는 없지만 많은 문제를 분류할 수 있습니다. 적을 알고 나를 알면 백전백승이라는 말이 있듯이, 문제가 어디에 속해있고 어떤 유형인지 분류할 수만 있다면 그 문제의 반은 이미 풀었다고 할 수 있는 것입니다.
3. 탈유형화
상위권학생들이 그토록 노력하고 있는 것을 한마디로 표현하자면 그것은 바로 ‘탈유형화’입니다. ‘탈유형화’ 단계는그동안 하고 있었던 유형 학습 방법을 버리는 단계가 아닙니다. 유형 학습을 하면서 생기게 된 한계를 극복하는 단계입니다.
유형 학습을 하면 할수록 점점 많이 보던 문제와 그렇지 않은 문제가 확연히 갈라집니다. 그리고 문제가 생소할 수록 당황하게 됩니다. 수능 문제가 어렵다고 하는 이유는 바로 우리에게는 생소한 문제가 많이 출제되기 때문입니다. 그러므로 수능 고득점을 위해서는 ‘탈유형화’ 단계가 반드시 필요한 것입니다.
이러한 유형 학습의 한계를 극복하기 위한 많은 노력들이 있습니다. 어떤 사람들은 개념으로 돌아가라고 합니다. 그 말이 맞습니다. 아무리 어려운 문제라고 해도 결국은 개념에서 시작되는 법입니다. 그리고 문제가 생소할수록 그 문제의 매듭을 풀 수 있는 핵심 개념 하나만 파악하게 되면 간단히 풀리는 경우가 많습니다.
또 다양한 방법으로 문제를 풀라고 합니다. 이것은 아주 좋은 방법이고 문제를 풀 때 반드시 필요한 자세입니다. 이 방법은 다음 장에서 좀 더 자세히 언급하겠습니다.
1) ‘탈유형화’를 위한 또 한가지 방법-스스로 문제를 만들어보라.
여러분이 문제집에서는 보지 못했던 생소한 문제들을 스스로 만들어보는 것입니다. 문제를 많이 풀다보면 시중에 나오는 많은 문제들은 거의 다 비슷한 패턴이라는 것을 알게 됩니다. 그러다보면 신선한 문제는 없나하고 찾아보게 마련이죠. 만약 여러분이 이런 단계에 이르렀다면 스스로 문제를 만들어보는 것도 좋은 방법이라고 생각됩니다. 저는 이 방법을 즐겨 사용했는데 저의 예를 들어보겠습니다. 지수로그 문제하면 흔히들 생각할 수 있는 유형이 바로 ‘반감기’와 관련된 문제일 것입니다. 저는 반감기와 상대되는 개념은 없을까하다가 언젠가 ‘인구배가연수’라는 생물학적 용어를 알게 되었습니다. 인구배가연수는 간단히 말하면 인구가 두배가 되는 데 걸리는 시간을 말합니다. 그러니까 반감기와는 정 반대되는 개념인 것이죠. 그래서 저는 이것으로 다음과 같은 문제를 만들어 보았습니다.
인구 배가연수는 인구가 증가하여 두 배가 되는데 걸리는 연 단위의 시간을 말한다. 이론상 인구는 기하급수적으로 증가하며 인구 증가율은 출생률과 사망률의 영향을 받는다고 한다.
인구수(N)은 전년도 인구수(N')와
N=(b-d)N' (b는 출생률, d는 사망률, b>0, d>0)
의 관계를 이룬다고 한다. 인구 배가연수가 40년이었던 어느 나라의 인구가 두 배로 증가한 이후에 급작스런 환경의 변화로 출생률은 두 배로 증가하고 사망률은 절반으로 감소하였고 인구 배가연수는 1/5로 감소하였다고 한다. 감소한 출생률(b)는 얼마인가?
(단, log 2=0.3으로 계산하고 log 1.018=0.0075, log 1.091=0.00375로 계산한다.)
① 0.352 ② 0.381 ③ 0.388 ④ 0.432 ⑤ 0.512
이런 식으로 여러분이 평소에 접하지 못했던 문제를 스스로 만들어보는 것입니다. (이 문제를 만들기 위해서 저는 일반생물학 책까지 찾아보았는데 그렇게까지 할 필요는 없습니다.) 문제를 많이 풀다보면 ‘아 이런 식으로 문제를 내면 좋겠는데’하는 생각이 들 때가 있습니다. 많은 사람들은 그러한 생각이 있어도 그 생각을 그냥 흘리거나 스쳐지나쳐버립니다만 그것을 문제로 만든다면 상당히 신선한 문제가 될 수도 있습니다. 그리고 그것 자체가 신유형을 접하는 것이고, 우리가 흔히 아는 유형에서 벗어나는 공부를 하는 것입니다. 물론 문제를 만드는 데는 어느 정도의 실력이 필요합니다. 또한 문제를 만들때는 많은 시간과 노력이 듭니다-문제를 만들때 발생하는 실수나 오류를 없애기 위해서 많은 생각을 해야합니다. 그리고 수능 문제처럼 간결한 문장을 만들기 위해서 하는 고민들(어떻게 하면 더 좋은 표현이 될까하는 고민들)은 실제로 수학 학습과는 관련성이 떨어지는 것이 사실입니다. 하지만 그만큼 얻는 것도 많습니다.
가장 중요한 것은 출제자의 관점을 잘 파악할 수 있다는 것입니다. 문제를 많이 만들다보면 출제자들이 왜 문제를 이런 식으로 만들었는지 이해하게 되고, 세세한 약속이나 암묵적인 조건들도 알 수 있습니다. 또한 (문제의 오류를 수정하는 과정에서)스스로 생각하는 힘을 기르게 됩니다. ‘만약 이런 경우를 가지고 문제제기하면 어떻게 될까?’, ‘이런 오류가 생기는데 이것을 어떻게 커버해서 문제를 만들지?’하고 고민하는 과정에서 자신도 모르는 실력이 쌓이게 됩니다.
무조건 문제를 만들라고 강요하는 것은 아닙니다. 어찌보면 비효율적인 일일 수도 있습니다. 하지만 너무 패턴화된 문제만을 풀다가 지치셨다면 한 번 시도해보는 것도 좋을 것 같습니다.
ꁱ거점개발 & 학업리모델링
수학 공부를 할 때도 거점개발 방식이 유효합니다. 거점개발 방식은 몇 가지 부문만을 골라 집중적으로 투자(공부)하는 것을 말합니다. 그리고 거점개발 방식은 투자가 다 이루어 진 후에는 다른 부문으로 옮겨서 투자를 하게 됩니다. 수학 공부도 마찬 가지 입니다. 한 단원을 확실히 해놓고 다른 단원으로 넘어가는 방법을 사용하는 것이 필요합니다.
누구나 수학에서 자신이 약한 단원, 약한 곳이 있기 마련입니다. 사람들은 틀린 문제를 다시 또 틀리는 경향이 있습니다. 시험을 볼 때도 마찬가지 입니다. 자신이 잘 못하는 부분을 틀리는 경향이 있죠. 하지만 막상 공부할 때는 약점만을 공부하지는 않게 됩니다.
학업리모델링이라는 말이 있습니다. 이 말은 이미 자신이 배운 내용 중에서 부족한 부분만을 골라서 보충해주는 공부방식을 말합니다. 수학을 공부할 때도 이 공부방식이 매우 유효하다고 생각합니다. 그리고 수능 날이 가까워질수록 가장 그 효율을 발휘하는 방법이기도 합니다. 공부하다보면 자신이 어디가 부족한지 파악해서 그 부분을 위주로 공부하는 것이 필요합니다.
ꁱ아침의 수학 & 1시간 40분 수학
많은 사람들이 오전에 수학 문제를 풀면 하품이 나오고 잘 풀리지 않습니다. 우리에게는 하루 중 몸의 컨디션이 최고가 되는 시간이 있습니다. 어떤 사람은 정오쯤에 컨디션이 좋아져서 머리가 잘 돌아간다고 합니다. 또 저녁이 되어야 공부가 잘되는 사람도 있습니다. 하지만 우리는 모두 같은 시간 10시 40분에 수리영역 시험을 보게 됩니다. 그러므로 이 때가 최적의 상태가 되도록 해야 합니다.
저는 시험을 보면서 제가 오전 시험 보다는 오후 시험을 잘 본다는 것을 알게 되었습니다. 모의고사도 오전에 보는 수리영역을 볼 때는 평소보다 약간 머리가 깨어있지 않다는 것을 느꼈습니다. 그래서 수능 날이 가까워지면서 저는 생활리듬을 조금씩 앞당겼습니다. 잠도 조금 더 일찍 자서 일찍 일어났습니다. 수학공부도 오전에 틈만 나면 계속 했습니다.
또 저는 이렇게 생각했습니다. 수학 시험은 1시간 40분 동안 봅니다. 하지만 학교를 다닐 때 학교 수업시간은 50분밖에 안 됩니다. 제가 다니던 학교에서는 자습시간이 길어야 1시간 20분이었습니다. 학원을 다닐 때도 자습시간은 1시간 20분이었습니다. 저는 시험을 볼 때 집중력이 떨어지는 형상이 생기게 된 이유가 바로 여기에 있지는 않은가 생각하게 되었습니다. 그래서 한 번 공부할 때는 항상 1시간 40분을 꼬박 지켰습니다. 그렇게 하다보니 쉬는 시간에도 해야 하는데 쉬는 시간에는 시끄러워서 집중을 잘 할 수가 없더군요. 아무튼 쉬는 시간에는 이어폰을 끼든지 해서 1시간 40분 논스톱 공부를 꾸준히 했습니다. 지금 와서 보니 그것이 많은 도움이 된 것 같습니다.
공부도 최대한 시험을 고려하면서 공부하는 것이 당연지사입니다. 시험이 가까워질 수록 시험리듬을 거스를 생활습관은 바꾸시는 것이 좋습니다. 그리고 ‘아침의 수학’, ‘1시간 40분의 수학’--수능이 가까워지면서 제가 마음 속에 갖고 있던 수학 모토였습니다. 여러분도 여러분의 경험에서 우러나는 수학모토를 만드십시오.
ꁱ수리영역의 세가지 큰 흐름
수능 수리영역에는 세가지 큰 흐름이 있다고 합니다. 그것은 바로 함수, 도형, 그리고 경우의수(확률, 통계)인데 이 세가지 흐름을 중심으로 언급하고자 합니다.
1. 함수
함수와 도형과 경우의 수 중에서 가장 공략하기 쉬운 것을 고르라고 하면 저는 함수를 고를 것입니다. 함수의 가장 큰 특징은 바로 그 ‘예측성’에 있습니다. 이 예측성이 있기에 우리는 어렵지 않게 함수 공부를 하는 것입니다. 수능에는 많은 함수들이 등장하는데 각 함수마다 독특한 성질이 있습니다. 우리가 공부하고 있는 것은 바로 이 함수들의 독특한 성질들을 배우는 것입니다.
2. 도형
우리는 도형의 기초를 중학교 때부터 배우기 시작합니다. 그래서 중학교 시절에 제대로 공부해 두지 않은 학생은 고등학생이 되면서 배우는 수학 10-나를 공부할 때 많이 어려워하는 것입니다. 우리가 배우는 도형과 관련된 중학교 교육과정에서는 수능에 직결된다는 보장은 없지만 그렇다고 해서 몰라서는 안 될 내용들이 많이 포함되어 있습니다. 시간이 촉박하지 않으시다면 중요한 부분 만을 골라서 봐두시는 것도 좋을 것 같습니다.
도형문제의 기본은 ‘발견’에 있습니다. 도형이나 그림 속에서 우리가 배웠던 개념(피타고라스 정리라든지, 삼수선 정리등등)을 발견할 때, 그 문제의 반을 맞히는 것입니다.
(1)공간도형, 공간좌표, 그리고 벡터(수리가형)
공간도형, 공간좌표, 벡터는 수2의 제일 뒤쪽에 나오는 단원이고 우리 학생들도 수2에서 가장 마지막으로 배우고 있습니다.
그런데 이 단원들은 각 단원에서 배우는 소단원의 개념들(예를 들면 삼수선 정리나 도형의 결정 조건)의 연계성이 다른 단원에 비해서 떨어집니다. 그래서 많은 학생들이 이 쪽 단원들을 공부하는데에 여러 가지 어려움을 겪게 되는 것입니다. 저도 처음 공부할 때는 공부의 갈피를 잡지 못했습니다.
이렇게 공부하는 것은 어려운데 막상 시험은 또 그렇지가 않습니다. 수능에서는 어려운 단원을 쉽게 내서 균형을 맞추는 것이 일반적이지만 이 쪽 단원들은 원래의 난이도 그대로를 유지해서 출제가 되는 경향이 있습니다. 출제자들은 다른 단원과 비슷한 난이도로 출제하지만 이 단원에 익숙하지 않은 우리들은 이 단원 문제들을 아주 어렵게 느끼게 되는 딜레마에 빠지게 됩니다.
하지만 그렇다고해서 이 단원이 마치 공간지각력이 타고난 사람 만이 정복할 수 있는 단원은 아닙니다. 공간지각력은 어느 정도만 있어도 충분합니다. 중요한 것은 우리가 배운 개념들을 자유자재로 구사할 수 있느냐하는 것입니다.
예를 들어보겠습니다. 우리는 흔히 3차원 좌표인 x, y, z좌표를 평면에서 그릴 때 x축은 남서쪽으로 향해 뻗쳐서 그리고, y축은 동쪽을 향해, z축은 북쪽을 향해 뻗쳐서 그립니다. 그런데 항상 이렇게만 해야하는 것일까요? 우리가 물체를 볼 때 한 면만을 보지 않고 이리저리 돌려보듯이 x, y, z축을 바꿔가면서 관찰한다면 더 많은 정보를 얻을 수 있는 것입니다. (여러분이 한 번 x축은 동쪽방향으로하고, y축은 북서쪽, z축은 북쪽으로 해보시고 평소에 그렸던 방법과 비교해 보십시오. 또 x축의 양의 방향을 반대로 해서 그려도 됩니다.)
또다른 예를 들어보겠습니다. 이번에는 제가 만든 문제를 소개해드리겠습니다.
좌표공간에서 한 교선에서 만나는 두 평면 α: 2x+y+z-7=0, β: y-z+1=0은 공간을 네 개의 부분으로 나눈다. 이 부분들 중 어느 한 부분을 임의대로 선택하여 ‘제 1영역’이라고 하고 나머지 세 부분을 각각 ‘제 2영역’, ‘제 3영역’, ‘제 4영역’으로 정하되, 제 1영역으로부터 반시계 방향으로 차례대로 제 2영역, 제 3영역, 제 4영역으로 하자.
다음 <보기>에 있는 다섯 개의 점 중, 서로 이웃하지 않은 영역, 즉 제 1영역과 제 3영역 또는 제 2영역과 제 4영역 관계에 있는 점들을 짝지어 모두 구하면?
(단, 네 부분의 경계가 되는 평면위의 점은 어느 영역에도 포함시키지 않는다.)
-<보기>------------------------------------------------------------
A(1,1,1), B(2,3,5), C(0,3,4), D(1,3,3), E(0,1,3)
--------------------------------------------------------------------
①점A와 B 또는 점C와 D
②점A와 B 또는 점D와 E
③점A와 E 또는 점B와 D
④점B와 D 또는 점C와 E
⑤점B와 E 또는 점C와 D
혹시 이 문제를 풀면서 느끼신 것이 있지 않습니까? 우리는 그동안 다른 사람이 정의해온 대로 공간을 보았고 이해했습니다. 하지만 이 문제는 우리가 스스로 공간을 정의해야 합니다. 결국 공간을 우리의 임의대로 정해도 어떤 성질이 성립될 수 있다는 것을 보여드리고 싶어서 이 문제를 소개해드렸습니다. 여러분 모두 자유로와지십시오. 정사영, 제2코사인법칙도 공간에서 자유자재로 구사하는 것도 중요하지만 공간 자체를 이렇게 자유롭게 볼 수도 있어야 합니다.
공간도형, 공간좌표, 벡터 이 세 단원 중에서 또 가장 어려워 하는 과목을 고르라고 하면 아마도 많은 사람들이 벡터를 꼽을 것입니다. 하지만 벡터라는 개념은 우리의 일상에서 많이 접할 수 있는 친숙한 개념입니다. 단지 그것을 명확히 인식하지 못한 것 뿐이죠. 또한 벡터는 스칼라 개념까지 포괄할 수 있는 더 기본적인 개념입니다. 수식으로는 어렵게 증명해야하는 여러 가지 공식들을 벡터를 사용하면 쉽게 증명할 수 있는 이유가 이에서 비롯한다고 생각됩니다. 벡터를 고급응용단원이라고 생각하지 마시기 바랍니다. 벡터 단원을 공부할 때는 각 소단원을 배울 때마다 이 단원은 왜 배우는지 명확히 짚고 넘어가셔야 합니다. 그렇게 해야 오래 기억할 수 있고 나중에 자유자재로 구사할 수 있는 단계로 넘어갈 수 있습니다. 그리고 결국 벡터를 배우는 최후의 목적은 직선과 평면의 방정식을 유도하는데에 있습니다. (결국 공간 좌표 개념의 완성을 위한 것이죠.)하지만 벡터 단원을 배우는 과정에서 배우게 되는 소단원마다 시험에 나올 수도 있으므로 공부할 때는 이 소단원들도 무게있게 공부하셔야 합니다.
3. 경우의수, 확률, 통계
우선 말씀드리고 싶은 것은 경우의수나 확률 공부를 할 때는 자신만의 관점을 확실하게 확보하셔야 된다는 것입니다. 이 쪽 단원 문제의 풀이법은 다양합니다. 원순열 만을 생각해봐도 맨처음에 임의의 사람을 앉혀서 생각하는 방법이 있고, 사람을 모두 앉힌 뒤에 겹친 만큼 제하는 방법도 있습니다. 이렇게 다양한 풀이방법 속에서 여러분은 하나의 관점을 가지고 여러분만의 문제풀이 체계를 만드시는 것이 중요합니다. 여러분이 가지고 있는 관점을 확장시켜서 다양한 사례에 적용시킬 수 있어야 하는 것입니다.
통계 부분도 소홀히 해서는 안 됩니다. 많은 학생들이 통계 부분을 다 배워도 개념 자체를 혼란스럽게 생각하고, 잘 이해하지 못합니다. 심지어 모평균 표본평균, 표본평균의 평균을 구분하지 못하고, 모분산, 표본의 분산, 표본평균의 분산을 구분하지도 못합니다. 그것은 각 소단원의 연계성을 제대로 파악하지 못했기 때문입니다. 연계성을 파악했다면 명확히 구분할 수 있고 우리가 그 단원들을 배우는 목적까지 이해할 수 있습니다.
여러분은 표본평균의 성질을 왜 배운다고 생각합니까? 그것은 모평균을 추정하기 위해서 배우는 것입니다. 이것이 가장 큰 줄기라고 할 수 있습니다. 정규분포, 표본평균, 신뢰구간 등은 이 큰 줄기를 따라서 뻗어나온 가지들이라고 볼 수도 있습니다. 이렇게 단원들의 연계성이 파악되어야 합니다.
ꁱ한 문제에서 수많은 정보를 도출해낼 수 있다.
처음에 언급한 내용이지만 좀 더 자세히 말씀드리려고 합니다. 바로 예를 들어서 설명해드리겠습니다. 수학1의 상용로그에 관한 문제입니다.
실수 x 에 대하여 3^x 이 30자리 정수일 때 2^x 은 몇 자리 수인가?
(단, log 2=0.3010, log 3=0.4771)
여기서 하나 묻겠습니다. 이런 문제는 왜 항상 밑이 큰 수(3^x)의 자리 수를 알려준 뒤에 밑이 작은 수(2^x)의 자리 수를 묻습니까? 몰론 간단히 생각해서 만약에 2^x 의 자리수를 알려주고 3^x 의 자리수를 물어본다면 수가 더 커지므로 알기 어렵게 된다는 것을 짐작할 수 있을 것입니다. 이것을 수식을 사용해서 좀 더 정확히 알아보겠습니다. 우리는 이 문제를 이렇게 풉니다.
우선, 3^x 이 30자리 수이므로
29 < x곱log 3< 30
이라는 식이 성립할 것입니다. 또 log 3=0.4771이므로
양변을 log3으로 나누면 결국
29/0.4771 < x < 30/0.4771
이 될 것이고. 여기에 다시 log 2(=0.3010)를 붙이면 결국
29곱0.3010/0.4771 < x곱log 2 <30곱0.3010/0.4771
이 될 것입니다. 분수를 모두 소수 꼴로 고치면
18.3 < x곱log 2 < 18.9
가 되어 우리는 답이 19 자리 수라는 것을 알게 됩니다.
이것은 결국 x에 관한 부등식에 0.3010/0.4771을 곱한 격이 됩니다.
이 값을 H라고 해봅시다. 그러면 부등식은
29H < Hx <30H
가 되는데 30H 에서 29H 를 빼면 남는 것은 결국 H뿐입니다. 이 말은 만약 H가 1보다 작으면 두 수의 차이도 1보다 작다는 말이 되는 것이죠. 그러면 H가 1보다 크면 어떻게 되겠습니까? 물론 두 수의 차이는 벌어져서 1보다 크게 될 것입니다. 그래서 실제로 이 문제를 거꾸로 ‘2^x 의 자리수가 30 자리일 때 3^x 의 자리수‘를 구하려고 계산하면 결국
45.96 < x곱log 3 < 47.55
가 되어서 답이 두 개 이상이 되므로 정확히 몇 자리의 수인지 구할 수 없게 됩니다.
(참고로 부등식의 왼쪽에는 등호를 포함시켜서 풀기시작했어야 했는데 이 웹페이지가 수학 기호를 인식하지 못해서 그냥 등호가 없는 부등호를 사용했습니다.)
아까 글을 시작하기에 앞서 말씀드렸듯이 수학이라는 과목은 한 문제를 가지고 수많은 정보와 사실들을 도출해낼 수 있습니다. 푼 문제에서 혹시 다른 새로운 정보, 새로운 문제를 만들 수는 없는지 고민해보시기 바랍니다. 실제로 출제자들도 이러한 방법을 사용하여 문제를 만들기도 합니다. 흔히들 출제자는 아주 뚜렷한 목적을 가진 뒤에 문제를 만든다고 생각하시는 분들이 많습니다. 하지만 출제자들도 기존에 있던 문제나 여러 가지 정리를 보고 발상을 떠올려서 문제를 만드는 경우가 많습니다.
ꁱ문제를 돌아가게 하는 정확한 메커니즘을 이해하라.
아주 간단한 예를 들어보겠습니다.
어떤 문제에서 두 원의 방정식이 주어지고 그 두 원의 공통 내접선의 길이를 구하라는 문제가 나오면 그 두 원은 서로 만나지 않고 있는 상태라는 것일 겁니다. 이 문제를 푸는 사람은 아마도 그림을 그리겠지요. 그런데 만약에 어떤 사람이 두 원을 두 점에서 만나게 그려놓고 문제를 풀려고 하면 어떻게 되겠습니까? 물론 설마 그럴 사람은 없겠지만 만약에 그렇게 그렸다면 절대로 문제를 풀지 못할 것입니다.
메커니즘을 정확히 알아야 푸는 문제들이 많습니다. 규칙을 찾아야하는 수열이나 무한급수 단원은 말할 것도 없고, 문장형 문제, 증명 문제-이것들 모두가 메커니즘을 알아야 풀 수 있습니다. 단순히 공식에 때려넣고 풀리는 문제는 많지 않습니다.
문제 속에 숨어있는 메커니즘을 정확히 파악하는 것이 중요합니다. 기계의 한 가지 부품이라도 빼먹으면 삐걱이고 돌아가지 않듯이, 문제를 이루고 있는 모든 요소 하나하나가 중요한 것입니다. 정확히 파악하셔야 합니다. 그래서 사용하지 않은 조건도 모두 활용하라는 말이 있는 것입니다. 그리고 ‘대충 감으로 때려잡아서’ 문제를 풀었다면 문제를 푼 뒤에라도 어떻게 해서 그 문제가 풀렸는지 정확히 따져봐야 합니다.
ꁱ문제를 푸는 것은 결국 출제자와 대화하는 것이다.
문제를 풀어서 답을 내고도 무언가 아쉬울 때가 많습니다. 그럴 때 좀 더 따져보고 다른 방법으로도 풀어보면 ‘아하’라는 감탄이 나오면서 ‘출제자가 이걸 노리고 문제를 냈구나’하는 생각이 들게 됩니다. 우리는 여기서 알 수 있는 사실이 하나 있습니다. 바로 문제 속에는 출제자의 의도가 들어있다는 것입니다. 그러므로 우리는 수학 문제를 볼 때 마치 기계나 완전무결한 컴퓨터를 보듯이 하면 안 되는 것입니다.
문제를 풀고있는 우리는 결국 출제자와 대화를 하는 것입니다. 출제자의 머리 속에 들어있는 지식이나 능력을 어느 정도 전수받는 과정인 것입니다. 출제자와 대화하려고 하십시오. 여러분이 자주 쓰는 방법만 골라서 쓰지 마시고, 출제자가 원하는 방법이 무엇일까 고민하십시오. 이것이 소통하는 공부방법입니다.
ꁱ최단거리로 풀기
제목에 약간 어폐가 있지만 그대로 사용하겠습니다.
수능 수리영역 문제의 가장 큰 특성 중 하나는 바로 ‘통제된 개방성’입니다. ‘개방성’은 어느 수학문제에나 있는 성질입니다. 어떤 식으로 풀어도 같은 답이 나오는 성질을 말하죠. 그런데 이 단어 앞에 ‘통제된’이라는 말이 붙은 이유는 수능 출제자가 이 ‘개방성’을 의도적으로 통제하고 있기 때문입니다.
(모든 문제가 다 그런 것은 아니지만)수능 문제를 출제자가 의도한 방법이 아닌 다른 방법으로 풀려고 하면 문제가 풀리지 않거나 그 풀이과정이 지나치게 복잡하게 됩니다. 의도한 대로 풀면 몇 줄도 안돼서 답이 나오는 경우가 많습니다.
이러한 점에서 최단거리로 문제를 푸는 것, 즉 풀이과정이 길지 않은 방법을 찾아 문제를 푸는 것이 수능 수리영역이 지향하는 바와 일치한다고 볼 수 있습니다.
ꁱ마음먹기에 따라서 한 문제를 더 풀기도 한다.
문제를 본격적으로 풀기전에 대충 읽어보다가 ‘이게 말이되나? 안 되는거 아닌가?’하고 문제자체의 앞뒤가 맞지 않는 것 같다는 생각이 들면 그 때부터 답답해지고 막상 문제를 풀려고해도 잘 안풀리는 경우가 있습니다. 또 이러한 경우도 있습니다. 문제를 보자마자 갑자기 어렵다는 생각이 들면서 겁이나고 문제에 잘 접근하지 못합니다. 바로 이러한 때가 생각이 ‘닫힌’ 상태입니다. 이렇게 생각이 ‘닫힌’ 상태에서는 문제를 창의적으로 풀 수 없습니다. 우리는 생각을 열어야합니다.
생각을 열기 위해서는 시험에 어떠한 형식의 어떠한 문제가 나와도 문제 그대로를 받아드릴 수 있는 마음자세가 중요합니다. 시험이 어렵게 나와도 ‘어려우면 얼마나 어렵겠어, 충분히 공부하면 풀 수 있는 문제가 나올거다’하는 마음자세가 필요한 것입니다.
결국 우리의 마음먹기에 따라서 한 문제를 더 풀기도 하는 것입니다.
ꁱ처음 풀 때 잘 풀어야
시험을 볼 때 수학이라는 과목이 가진 좋은 점은 바로 검산을 할 수 있다는 것입니다. 자신이 낸 답을 가지고 문제에 맞는지 확인해보거나 다른 방법으로 풀어서 같은 답이 나오는지 확인 할 수 있습니다. 그래서 혹자들은 수능 시험을 볼 때 무조건 빨리빨리 풀어서 한 번 더 풀어보는 것이 좋다고 말합니다. 그리고 실제 수능 시험을 볼 때 두 번을 푸는 사람도 있습니다. 저도 한 때는 30분씩 시간을 남겨서 다시 풀곤 했습니다.
하지만 수능시험은 우리가 보는 어느 시험보다도 더 시간이 촉박하게 느껴지는 시험입니다. 이러한 촉박감이나 긴장감 때문에 우리는 수리영역 모의고사 등을 볼 때 문제를 다시 풀어도 처음 풀 때와 같은 사고과정을 밟는 경향이 있습니다. 심지어 처음 풀 때 실수한 문제를 다시 풀어도 같은 실수를 반복하는 경우도 생깁니다. 또한 다시 풀어서 실수한 문제를 찾아내겠다는 자세로 문제를 풀면, 막히는 문제는 성급하게 넘어가고 문제를 풀었지만 틀린 답이 나와도 답이 나왔다는 이유로 다음 문제로 넘어가는 경향이 있습니다. 그래서 처음 풀 때 잘 풀겠다는 자세가 필요한 것입니다. 문제를 처음 볼 때 답이 나오는 끝까지 집중하셔서 문제를 푸시기 바랍니다.
ꁱ모든 문제의 주관식화
많은 문제집이 객관식과 주관식의 문항비율이 맞지 않습니다. 보통 객관식은 우리가 보는 시험에 맞추어 70퍼센트의 비율을 유지하는 것이 좋을 것입니다. 하지만 많은 문제집들은 이 비율을 지키고 있지 않습니다. 심지어 객관식이 전체 문제의 80에서 90퍼센트를 차지하는 경우도 있습니다. 객관식 문제는 보기가 있습니다. 흔히들 문제를 풀다가 자신이 낸 답이 맞는지 볼 때에 문제 보기에 그 답이 들어있는지 확인을 하게 됩니다. 이런 안일한 습관에 길들여져 있다보니 객관식 문제는 그럭저럭 맞혀도 주관식 문제는 틀리게 됩니다. 그리고 그러고도 사람들은 ‘실수로 아쉽게 틀렸다’고 생각하며 넘어갑니다. 어쩔 도리가 없다고 생각합니다. 이런 습관을 한 가지 방법을 소개해드리겠습니다.
‘모든 문제를 주관식으로 바꿔라.’
방법은 간단합니다. 문제집에 나오는 객관식 문제의 보기를 모두 보이지 않게 가리면 됩니다. 수정 테이프를 쓰거나 컴퓨터 사인펜을 써서(이것들은 보기에는 좋지 않습니다.)보기가 완전히 보이지 않게 만듭니다. 그리고 정답은 해설지에 나와있는 답을 보는 것입니다. 대부분의 해설지에는 답까지 있습니다. 물론 번거롭고 시간이 조금 걸리지만 그만큼 얻는 것도 많습니다. 객관식 문제는 잘못 풀어도 보기에 답이 없으면 다시 풀게 됩니다. 하지만 이렇게 하면 조금만 잘못 풀어도 바로 틀리게 되기 때문에 신중하게 문제를 풀게 됩니다. 또한 문제를 풀어서 답을 낸 뒤에 항상 보기를 보며 답이 맞는지 확인하는 습관도 없어지게 됩니다. 그리고 사실 저의 경험으로는 모든 문제를 주관식으로 바꾸는 것 보다는 답이 정수로 떨어지는 것을 가리는 것이 더 좋은 것 같습니다.
글을 마치며..
고3이 되어 맞은 3월 입학식 첫 날, 남들은 이제 고3이 되었다고 부리나케 공부를 하기 시작했는데, 그저 책상에 멀뚱멀뚱히 앉아서 하늘만 처다보던 제 친구가 있었습니다. 제가 왜 그러느냐고 물어보니 그 친구는 자신이 고3이 된 것이 실감나지 않는다고 하고, 공부를 해야겠다는 의욕도 생기지 않는다고 말했습니다. 저는 이해가 가지 않았습니다. 저는 당연히 고3이 되었으니 눈에 불을 켜고 공부해야하는 것이 아니냐는 생각을 했습니다.
그 친구는 며칠을 공부도 하지 않고 가만히 있었습니다. 그러더니 며칠 뒤부터 공부를 하기 시작했습니다. 그리고는 그 자리에서 움직이지 않고 공부만 하는 녀석이 되어버렸습니다.
9월 10월이 되어서 우리들은 모두 지치게 되었습니다. 점심시간에도 밥을 먹으며 책을 보던 습관은 버리고 운동장 벤치에 나가 앉아서 친구들과 잡답이나 늘어놓으며 스트레스를 풀었습니다. 하지만 그 친구는 여전히 변함없이 공부만 할 뿐이었습니다.
첫 수능을 보게 되었습니다. 저는 제 나름대로 쓴 맛을 보게 되었습니다. 다른 친구들도 알아보니 저마다 자신이 워하는 점수는 받지 못했다고 했습니다. 하지만 그 친구는 오히려 평소 모의고사보다 50점이나 더 높은 점수를 받게 되었습니다.
그 후에 저는 재수를 하게 되었습니다.
‘같이 공부를 했는데 왜 나는 일년을 더 공부해야하는 걸까?’하는 고민을 하게 되었습니다.
그리고 고민끝에 저는 그 이유를 알게 되었습니다.
그 친구는 자신의 페이스에 맞게 공부를 했던 것입니다.
3월달이 되어 남들은 분위기에 맞추어 열심히 공부하고 있는 사이에 그 친구는 공부할 준비가 되지 않았기에 자신이 왜 공부를 해야하는지 고민하고 있었던 것입니다.
9월 10월이 되어 남들은 지쳐가고 있을무렵, 점점 흐려지는 분위기 속에서 공부하고자하는 의욕을 잃어가고 있을 무렵, 그는 남들을 보지 않고 자신이 해야할 분량 만큼 공부하고 있었던 것입니다. 여러분은 여러분 만의 공부 페이스가 있습니다. 남들의 페이스에 휘말려서 여러분 자신의 페이스를 잃지 않도록 주의하십시오.
언젠가 제 동생과 장거리 경주 시합을 한 적이 있었습니다. 물론 800미터 육상부 출신이고 수험 생활은 한 번도 해보지 못한 동생에게 제가 이길 리가 없었습니다. 제 동생은 시합을 시작하자마자 벌써부터 저만치나 앞서갑니다. 하지만 저는 묵묵히 저의 속도를 유지한 채로, 꾸준히 고르게 숨을 내시며 달리고 있을 뿐입니다. 결국에는 동생이 답답했는지 다시 되돌아와서 왜 그렇게 천천히 뛰냐고 묻습니다. 하지만 저는 아무런 대답도 하지 않고 뛰기만 할 뿐입니다.
저는 제 동생에게
제가 배운 이 ‘페이스의 철학’을 가르쳐주고 싶었습니다.
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(p.s)저는 오래전부터 이 글을 쓰려고 마음먹었습니다. 좋은 글을 쓰기 위해 예전에 보았던 문제집도 다시 찾아보기도 했습니다. 그런데 오랫동안 공부를 하지 않은 공백기간 탓 때문인지 글이 마음대로 써지지 않더군요. 그리고 심지어는 내가 이걸 자랑하려고 쓰는 것은 아닌가 하는 생각도 들게 되어서 글쓰는 것을 그만두려고 했습니다. 며칠 전 어떤 학생이 저에게 ‘좋은 글을 써주셔서 감사하다’는 글을 남겼습니다. 그리고 그러한 격려에 힘입어 저는 다시 이렇게 글을 쓰게 되었습니다.
여러분,
수학시험 37점을 맞았던 사람이
노력해서 수학 천재라는 말을 들을 정도에 이르게 되었다면
여러분은 수학이라는 과목을
그저 타고난 사람들이나 정복할 수 있는 과목이라고 보겠습니까?
그 녀석이 바로 저였습니다.
비상은 땅에서부터 시작되기에 가치있는 것입니다.
아직까지 자신이 도달한 위치가 낮다고 좌절하지 마시고
그만큼 더 높이 비상할 수 있다는 것을 기쁘게 생각하십시오.
지금까지 저 Proto가 들려주는 이야기였습니다.
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