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  頂上人◑Mentor◐™  (IMIN 67) :: ★☆ 수리가형 표준점수 논란은 이 글을 보신다면 더 이상 없을거라 믿습니다 ☆★(수정 완료) :: 2007/11/23 02:01    


처음에 수능자유게시판에서
표준점수 관련한 글을 쓸 때에는, 수험생들의 이해를 돕기 위해 정식 계산법과는 달리 약간 변형한 예를 들어서 간단히 설명했습니다.

아마 그렇다보니 아랫분께서는 제가 생략한 과정 중 다른 중요한 것이 있는데 놓치고 있는 것은 아닐까 생각하신 것 같은데요.

결론은 큰 문제가 없는데,
다만 글이 이상한 방향으로 좀 엉켜서 Insert Coin 님이 지적해 주신대로 글을 다시 수정했습니다. 좋은 지적 다시 한 번 감사드립니다.

원점수가 같을 때, 공통에서 많이 틀리는 것이 유리한지 선택에서 많이 틀리는 것이 유리한지는 늘 뜨거운 감자였죠.
헌데 그 원리를 제대로 설명해 주는 곳도 없고 사람들의 논리도 제각각이여서 항상 많은 논란이 발생하곤 했었습니다.

자세히 설명드리자니 글이 길어질 것 같아서 처음에는 간략하게 설명을 드렸는데
또 논란이 발생하고 궁금증을 갖는 분들이 많이 계셔서

용기를 내어서 길이의 압박을 극복하고 몇 자(...-_-) 써 봅니다.

너무 겁부터 드렸나요. 그냥 읽어나가면 생각보다 많지 않으니 한 번은 꼭 읽어보세요^^

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◦ 점수 조정의 방법은 다음과 같습니다.
   ①단계 : 각 선택과목 집단별로 공통과목과 선택과목 점수의 평균과 표준편차를 계산함.        
   ②단계 : 각 선택과목 집단별 공통과목의 평균과 표준편차를 이용하여 선택과목의 점수를 조정함.
선택과목조정점수 = 공통과목의 평균 점수 + (수험생의 선택과목 점수 - 선택과목의 평균 점수)
(여기에 선택과목점수의 표준편차로 나누고 공통과목점수의 표준편차로 곱함)
    ③단계 : 공통과목의 점수와 조정된 선택과목의 점수를 평균 100이고 표준편차 20인 표준점수로 변환함.        
    ④단계 : 표준화된 공통과목과 선택과목의 점수에 배점 비율대로 가중치를 두어 합침.        
    ⑤단계 : ④단계에서 나온 점수를 기준비율에 따라 등급을 부여함.
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그럼 지금부터 단계별로 차근차근 설명드리죠.
약간 긴 설명일수도 있으나
확실하게 알고 싶으신 분들을 위해 자세하게 풀어서 설명해 드리겠습니다.


①단계 : 각 선택과목 집단별로 공통과목과 선택과목 점수의 평균과 표준편차를 계산함.
말 그대로 학생들의 답안지를 채점한 후, 평균과 표준편차를 뽑아내는 단계입니다.



②단계 : 각 선택과목 집단별 공통과목의 평균과 표준편차를 이용하여 선택과목의 점수를 조정함.
선택과목조정점수 = 공통과목의 평균 점수 + (수험생의 선택과목 점수 - 선택과목의 평균 점수)
(여기에 선택과목점수의 표준편차로 나누고 공통과목점수의 표준편차로 곱함)

2단계가 약간 복잡해서 생소하신 분도 계실터인데
만약 여기에 6차 수험생분이 계신다면 무슨 뜻인지 쉽게 이해를 하실겁니다.

잠깐 부연설명을 드리자면 6차에서는 탐구영역의 경우 총 80문제였고
그 구성은 아래와 같았습니다.
모든 학생이 치는 공통과학과 공통사탐이 있었고(문과 70문제, 이과 64문제)
학생에 따라 과목이 다른 선택과목이 있었습니다.(문과 10문제, 이과 16문제)

이 때, 선택과목에 따라 만점자의 변환점수가 달라지도록 조정을 했었는데
그 과정이 바로 지금 위에서 언급한 2단계 과정 입니다.

그 원리는 다음과 같습니다.
다소 길 수도 있으나 이해하기 쉽도록 풀어썼으니 부담없이 읽어주세요.


Case 1) 선택과목으로 물리를 선택한 집단 A와 생물을 선택한 집단 B가 있다고 합시다. 이 때,

공통과목 평균점수 : 집단 A = 집단 B
선택과목 평균점수 : 집단 A > 집단 B

라고 합시다.
그렇다면 이것은 이렇게 받아들일 수 있습니다.

A집단이나 B집단 모두 공통과목 평균점수가 같은 것으로 봐서 애초에 두 집단의 실력은 비슷한데
선택과목의 평균점수가 A집단이 B집단보다 높았으므로
A집단이 선택한 물리가 B집단이 선택한 생물보다 더 쉽게 출제되었음을 예상할 수 있지요.

따라서, 물리를 선택한 만점자보다 생물을 선택한 만점자가 실력이 더 뛰어날 가능성이 높다는 뜻입니다.
그렇기 때문에 같은 만점이라도 더 어렵게 나온 생물을 선택하고 만점을 받은 학생에게 더 높은 변환점수를 주게 되는 것이죠.



Case 2) 마찬가지로 물리를 선택한 집단 A와 생물을 선택한 집단 B가 있다고 합시다.
이번에는 반대로

공통과목 평균점수 : 집단 A > 집단 B
선택과목 평균점수 : 집단 A = 집단 B

라고 합시다.
이번에는 이런 해석이 가능하죠.

애초에 공통과목의 평균점수가 집단 A가 집단 B보다 높은 것으로 봐서
집단 A의 실력이 집단 B보다 더 뛰어남을 알 수 있습니다.

그런데, 그럼에도 불구하고 선택과목의 평균점수가 집단 A와 집단 B가 같았다는 것은
실력이 더 뛰어난 집단 A가 친 선택과목 물리가 집단 B가 친 선택과목 생물보다 더 어렵게 나와서
결과적으로 두 선택과목의 평균점수가 같게 되었다고 볼 수 있지요.
(선택과목 난이도가 같았다면 실력이 더 뛰어난 집단 A가 친 선택과목의 평균점수가 집단 B가 친 선택과목의 평균점수보다 더 높았을 텐데, 그렇지 않고 선택과목의 평균점수가 똑같았다는 이야기이니 선택과목 난이도가 달랐다는 소리죠.)

따라서, 선택과목의 평균점수가 같을 때는 공통과목의 평균점수가 더 높은 집단이 더 어려운 시험을 쳤다는 이야기가 됩니다.

그렇기 때문에 같은 만점이라도 실력이 더 뛰어난 학생들인 A집단이 선택한 물리에서 받은 만점이
상대적으로 실력이 떨어지는 B집단에서 선택한 과목인 생물에서 받은 만점보다 더 높게 평가되어서 변환점수도 높다는 뜻이죠.


자. 여기까지 제대로 이해를 하셨으면 다시 앞의 과정을 봅시다.


②단계 : 각 선택과목 집단별 공통과목의 평균과 표준편차를 이용하여 선택과목의 점수를 조정함.
선택과목조정점수 = 공통과목의 평균 점수 + (수험생의 선택과목 점수 - 선택과목의 평균 점수)
(여기에 선택과목점수의 표준편차로 나누고 공통과목점수의 표준편차로 곱함)


여기에서 선택과목조정점수가 높게 나오려면 어떻게 되어야 할까요?
네. 공통과목의 평균점수가 높을수록(Case 2), 선택과목의 평균점수가 낮을수록(Case 1) 높게 나오게 됩니다.

이제 이해가 가셨죠?
헌데. 잠깐! 지금 이게 무슨 과정이었죠?

바로 선택과목의 표준점수를 계산하고 있는 것이었습니다.

즉, 이 과정은 공통에서 틀리는게 유리하냐, 선택에서 틀리는게 유리하냐를 결정하는 과정이 아니라

선택과목에 따라 만점자의 표준점수가 달라지는 과정입니다.

따라서 이 과정을 이해하셨다면
수리가형 선택과목에 따라 만점자의 표준점수가 달라지는 이유를 이해하게 되는 것이죠.


제가 처음 글에서 언급했던
'원점수가 같을 때 공통에서 틀리는게 유리한지, 선택에서 틀리는게 유리한지'
는 이 과정이 아니라 3,4단계에서 결정되는 것입니다.


자. 그럼 계속 진행해 봅시다.


③단계 : 공통과목의 점수와 조정된 선택과목의 점수를 평균 100이고 표준편차 20인 표준점수로 변환함.
④단계 : 표준화된 공통과목과 선택과목의 점수에 배점 비율대로 가중치를 두어 합침.

3, 4 단계를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.


[ 100 + 20 x (공통점수 - 공통평균) / σ1 ] x 0.83
공통과목을 평균이 100이고 표준편차가 20인 점수로 변환하는 과정 + 배점 비율대로 가중치를 둠

[ 100 + 20 x (선택점수 - 선택평균) / σ2 ] x 0.17
선택과목을 평균이 100이고 표준편차가 20인 점수로 변환하는 과정 + 배점 비율대로 가중치를 둠


자. 그럼 여기서 점수계산에 차이를 주는 요인을 다 생략하고 위의 식을 간단히 해 봅시다.

(공통점수 - 공통평균) x 1/σ1 x 0.83
(선택점수 - 선택평균) x 1/σ2 x 0.17


뭐가 보이십니까?

뒷 부분을 빨간색으로 해 놓았지요?

네. 가장 중요한 부분이 바로 여기입니다.


사실, 공통평균과 선택평균보다 더 중요한 것은 바로 뒤에 곱해주는 1/σ1 x 0.83 과 1/σ2 x 0.17 에 있습니다.

이 수치를 반영비율이라고 생각하시면 되는데요.


통상적으로 같은 집단에서 표준편차의 값은 점수에 비례합니다.

σ(aX) = |a|σ(X) (수1 시간에 배우셨죠?)

즉, 점수가 100점 만점일 때 표준편차가 2였다면 200점 만점으로 환산하면 표준편차는 4가 된다는 뜻입니다.


공통과목은 83점 만점이고 선택과목은 17점 만점이라고 본다면
통상적으로 각각의 표준편차 σ1 와 σ2 의 비율은 83 : 17 이 됩니다.

그렇다면 다시 아까의 식을 볼까요.

1/σ1 x 0.83 과 1/σ2 x 0.17

여기서 만약 이론대로 표준편차 σ1 와 σ2 의 비율이 정확하게 83 : 17 로 된다면 두 값은 같아지게 됩니다.
의심나시면 직접 해 보세요. 분모와 분자의 값이 같아서 상쇄됩니다.

즉, 이론대로라면 같은 원점수일 때 공통에서 많이 틀리냐, 선택에서 많이 틀리냐에 관계없이 표준점수가 같게 나오게 되죠.
하지만 현실은 그렇지 않습니다.


다들 수학문제 풀 때 어디푸터 푸시죠?
네. 대부분 앞에서부터 풀죠.

여기 오시는 분들이야 몇몇 문제 빼고 끝까지 다 풀고 다시 앞으로 돌아가 빠뜨린 문제만 다시풀고 마무리하는 분들이 많으니 모르실 수도 있으시겠지만

사실 수학시험을 치는 학생들의 상당수는 시간내에 한 번 끝까지 다 풀기도 버거운 상황입니다.
따라서 앞에서부터 풀다가, 마침내 뒷부분은 찍어버리게 되죠.

'그래도 수리가형은 잘하는 학생들이 대부분 아니냐?' 라고 반문하시는 분들에게 답해 드리자면
05수능 수리가 4등급컷 61점
06수능 수리가 4등급컷 59점
07수능 수리가 4등급컷 60점

즉, 수리가형이라 할지라도 5등급 이하를 받는 나머지 60% 학생들은 60점도 안 된다는 이야기입니다. 절반 맞기도 힘든 나머지 학생들이 26번 선택까지 가기도 힘들뿐더러
혹 26번부터 푼다고 할지라도 과연 얼마나 맞을 수 있을지는 미지수입니다.
(이 점수대 학생들은 선택과목은 공부 자체를 안하고 시험장에 들어가는 경우도 많죠)

따라서 앞부분은 잘하는 사람과 못하는 사람의 점수차이가 크지 않지만
뒷부분은 잘하는 사람과 못하는 사람의 점수차이가 크게 난다(표준편차가 커진다)는 것입니다.

그래서 공통부분보다 선택부분의 평균이 낮게 되고
표준편차도 선택부분이 상대적으로 이론수치보다 더 커지게 되는 것입니다.


즉, 공통부분과 선택부분의 표준편차의 비율이 이론적 수치인 83 : 17 이 되는 것이 아니라
75 : 25 이런식으로 된다는 뜻이죠.

자. 그러면 한 번 다시 계산을 해 봅시다.

이론대로 σ1 과 σ2 이 83 : 17 라면
1/83 x 0.83 과 1/17 x 0.17
이렇게 되어서 두 값이 같아지지만

σ1 과 σ2 이 83 : 17 이 아니라 75 : 25 가 된다면
1/75 x 0.83 과 1/25 x 0.17
이렇게 되어서 1/75 x 0.83 값이 더 크게 나오죠.


이게 무슨 말인고 하니

(공통점수 - 공통평균) x 1/σ1 x 0.83
(선택점수 - 선택평균) x 1/σ2 x 0.17

처음에 언급한 이 수식처럼 나중에 공통부분과 선택부분의 표준점수를 합산할 때

공통부분의 점수와 선택부분의 점수비인 83 : 17 로 계산해서 합산되는 것이 아니라
실제점수비율보다 공통부분의 점수비율이 더 많은 것 처럼 계산해 주게 된다는 뜻입니다.
1/σ1 x 0.83 이 1/σ2 x 0.17 보다 큰 값이 나오기 때문이죠.

그렇기 때문에 같은 원점수라 하더라도 반영비율이 더 높은 공통부분의 성적이 높은 학생이 표준점수를 더 잘 받는다는 뜻이죠.


따라서 결과적으로 큰 이변이 없는 한 같은 원점수일 때, 선택과목을 보다 많이 틀린 학생일수록 표준점수가 더 높게 나오게 되어있습니다.


너무 복잡해서
아직 감이 안 오신다면 좀 더 중간과정을 많이 생략한
극단적이고도 쉬운 예를 들어 생각해 봅시다.


국어시험을 1학기에 중간고사, 기말고사 두 번 치는데
1학기 합산성적은 중간고사에서 60% 반영하고, 기말고사에서 40% 반영한다고 해 봅시다.

우왕국 학생은 중간고사에서 100점, 기말고사에서 80점을 받았고
김왕장 학생은 중간고사에서 80점, 기말고사에서 100점을 받았습니다.

둘 다 원점수는 180점으로 같지요?
하지만 1학기 합산성적은 누가 높을까요?

네. 당연히 반영비율이 높은 시험에서 보다 높은 점수를 획득한 우왕국 학생이 합산성적이 더 높게 됩니다.

중간고사와 기말고사 중 어느 시험의 평균이 더 높냐 낮으냐,
또는 각각 시험에서 몇 번 문제를 틀렸느냐는 합산성적에 큰 영향을 주지 않지요.


이것을 그대로 수리가형에 적용시켜 보신다면 쉽게 감이 올 것이라 믿습니다.



설명이 꽤 길었지요? 하지만 최대한 쉽게 풀어서 설명했으니 차근차근 따라 오셨다면 무난히 이해하셨으리라 믿습니다.

자. 이제 같은 원점수일 때,
공통과목에서 많이 틀릴수록 유리하냐, 선택과목에서 많이 틀릴수록 유리하냐

에 대해 확실히 아실 수 있겠지요?


허허... 글 쓰다 보니 어느덧 두시간이 흘러가 버렸네요. 이렇게 긴 글이 될 줄은 몰랐는데 ^^

편안한 밤 되세요.★



n* 세로토닌님에 의해서 게시물 이동되었습니다 (2008-06-21 20:44)