[펌]수학 및 통계학 과목 수강.. 총론 및 각론.
by 세로토닌 | 2008년 7월 5일 10:33
조회 1038 댓글 0
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요즘 방학이고 해서 시간도 좀 남고 해서 좀 글을 남겨 볼까 합니다. 경제학과 수학에 대한 얘기를 하고 싶은데, 우선 지금 쓰려고 하는 것은 제 생각일 뿐이라는 걸 강조하고 싶습니다. 수학에 대한 생각은 사람들마다 다릅니다. 교수님들도 선대와 미적이면 충분하다는 교수님들부터, 통계학과나 수학과의 석사 2학년 과목들까지 들으면 들을수록 좋다는 교수님들까지 의견이 다양합니다. 여러분들의 생각은 여러분들이 만들어 나가는 거죠....
수강신청기간인데, 요즘에는 경제학부 전반적으로 이전보다는 수학을 좀 더 많이 듣는 것 같습니다. 05학번 2학년들도 열심히 하는 사람들이 많고...선형대수학 같은 수업은 경제학부생이 절반 가까이 된다고도 하구요. 수학을 공부하는 것은 경제학을 공부함에 있어서 주요한 도구들을 잘 사용하게 해 주고 동시에 논리적으로 탄탄하게 해 줍니다. 개인적으로는 좋은 현상이라고 생각합니다.
그런데 이런 경향이 조금은 지나치다는 생각도 듭니다. 고시공부하는 분들까지 선형대수를 듣는다는 얘기도 있고, 계량경제학 공부하다가 모르는 게 나온다는 데 좌절하면서 선형대수를 들어야만 되겠다고 하신 분도 있었습니다. 또 지금 생각해 보니 제가 공개자료실에 퍼온 channy 님의 글이 각론에 대해서 정말 잘 짚고 있지만 동시에 결론 부분에서는 수학의 중요성을 지나치게 강조하고 있기도 하구요.
우선 주변 사람들이 그렇다고 해서 무조건 따라가려는 경향은 좋지 않다고 생각합니다. 그냥 너나 나나 고시공부한다고 해서 고시공부 시작하면 좋은 결과 얻을 수 없듯이, 자신의 진정한 필요에 의해서 수학 공부 시작하는 것이 아니면 좋은 결과 얻기 힘듭니다. 수학이라는 것은 경제학과는 다른 새로운 학문이고 다른 방법으로 접근해야 합니다. 정말 열심히 하지 않으면, 가뜩이나 수학 과목 학점도 그렇게 잘 주는 편도 아니고, 기본이라는 선형대수학 A 받는 것도 정말 만만치 않습니다.
경제학부 학부 전공과목을 공부하는데 필요한 내용은 경제수학에 사실 거의 다 들어 있습니다. 학부 계량경제학 수강을 위해서, 또는 그냥 폼나니까(?) 선형대수학 듣기 시작하는 것은 좋지 않고, 또 위험합니다. 적어도 정신 바짝 차리고 새로운 세계로 들어갈 준비를 하시기 바랍니다. (선형대수학을 들으면 학부 계량 수강에 물론 도움이 되기는 합니다. 하지만 선형대수학이 계량을 위한 과목이 아니기 때문에 계량에서 사용하는 선형대수학 내용을 선형대수학 교과과정이 완전히 커버하지는 못합니다)
또한가지는 경제학을 공부하는데 있어서 수학을 어떻게 공부할 것인가 하는 문제인데.... 경제학 공부하다가 수학이 나오면 무조건 관련 과목을 수강하면 되느냐... 절대 그렇지 않습니다. 경제학에서 안 쓰는 수학 과목은 아마도... 없을 겁니다. 그렇다면 그렇게 공부한다면 수학 복수전공을 해야만 할 것입니다. (-_-;)
공부하는 자신의 시간은 제약되어 있고 제약된 시간 내에서 최고의 효율을 올리려면 수학 과목들 중에서 경제학과 밀접한 과목들만 골라 들어야 합니다. 그래서 제일 중요한 과목이 선형대수학과 advanced calculus이면서 경제학의 논리를 느끼게 해주는 해석개론입니다. 그 과목들에 집중해서 듣는 것이 제일 좋습니다. 동시에 해석개론1 정도를 듣는 것은 본인이 수학에 얼마나 적성이 있는지 판단하게 해 줍니다. 해석개론1에서 처참하게 박살난다면 그 때는 경제학을 공부한다 하더라도 수학을 많이 사용하는 분야로 나가기는 힘듭니다. (물론 본인이 공부를 잘못된 방법으로 했을수도 있습니다. 그런 경우는 제외) 해석개론1을 해 볼 만 했다면 계량, 이론미시, 금융 등 수학을 많이 사용하는 과목으로 나갈 수 있을 것입니다. 그 다음부터는 본인이 좋아하는 과목 들으면 되겠습니다. 역시나 해석 줄기인 실변수함수론과 실해석학이 중요하고, 위상수학개론, 그리고 통계학과의 확률론과 수리통계 등등이 있죠.
얼마 전에 함수해석학까지 들을 수 있다는 리플도 있었는데.... 서울대에서 박사과정까지 다 마치는 경우 제외하고, 함수해석까지 수강한 분이 있기는 있나요?? (-_-;;;;;)
하나 더 덧붙이자면 수학 과목을 들으면서 해석을 넘어 실변수함수론이나 위상 정도 들어갈 무렵, 나 자신이 수학을 향하고 있는지 경제학을 향하고 있는지 조심스럽게 생각해 볼 필요가 있습니다. 수학의 논리성이 경제학에서 사용될 수는 있지만 경제학은 수학이 아닙니다. 즉 경제학을 다루면서 완전히 수학을 다루듯 할 수는 없다는 것입니다. 보통 수학을 공부하다가 경제학을 공부하는 사람들은 둘 사이에 중점을 취할 수 있는데 경제학을 공부하다 수학을 맛들인 사람들은 한 쪽으로 확 치우치기 쉽습니다. 본인이 정말 수학이 좋다면 그때부터 수학을 복수전공 하고 수학과 대학원 노리면 되는 것이고, 그렇지 않으면 지나치게 수학으로 매몰되지 않고 자신을 유지할 필요가 있습니다.
수학과목 말고도 대학원 과목을 학부 때 미리 들어두는 것도 좋고, 할 일이 참 많습니다. -_-;;;
그리고 05학번 이하 미적분을 모르는 경제학부 신입생들 분께서는, 경제학 학사 학위를 무난히 받으시려면 어떻게 해서든 미적분에 대한 공부는 하시기 바랍니다. (즉, 법대나 다른 과로 전과 생각하신다면 미적분 공부할 필요 없다는 얘기입니다.)
그런데 보통 자습으로 하면 공부가 잘 안되니까, 경제수학을 어떻게 해서든 수강을 하시기 바랍니다. 경제수학도 교수님들마다 난이도 차이가 있고 공부를 더 많이 하고 싶으신 분은 제일 어려운 수업을 들으면 되지만... 하튼 경제학 공부하다 보면 기본적인 미적분은 필수입니다. 고시를 보든, 뭘 하든 말이죠.
그래서 정리하면.....
# 경제학으로 밥 먹고 살 생각은 없다.. 하지만 계량경제학을 비롯한 경제학 학부 과목들은 충실히 공부하고 싶다.
=> 수학 과목 따로 수강할 필요 없습니다. 경제수학 부분만 열심히 공부하세요.
# 아직 진로는 못 정했지만 경제학이 재미는 있다... 따라서 대학원 공부를 하면서 결정하고 싶다.
=> 경제수학 공부. 선대 수강. 여기에 해석학에 대한 최소한의 지식이 필요합니다. 최소한 단학기 해석개론 정도는 수강해야 하고, 해석 통년수업의 첫학기. 해석1 수강을 하면 좋습니다.
# 유학 지망생. 공부로 밥먹고 살거다.
=> 최소사양 : 선형대수학, 해석개론1 (최선을 다해 A 만드세요)
=> 권장사양 : 선형대수학, 해석개론1, 해석개론2, 미적1-미적2, 실변수함수론 or 위상수학개론1
(실해석까지 끝내실 분들은 굳이 미적을 듣지 않아도 되겠군요. 세부전공 선택에 따라 실변수함수론이나 위상은 필수과목 급이 될 수도 있습니다.
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수학 각론에 대해서 좀 생각을 얘기해 보겠습니다. 어제 글에서도 말씀드렸지만 수학에 대한 생각은 교수님들께서도 저마다 다르니까.... 다양한 의견 제시는 환영이지만 지나친 태클은 사양하겠습니다.
제가 들어본 과목들 및 제가 중요하다고 생각하는 과목 위주로 말씀드리겠습니다. 저는 상대적으로 수학을 많이 듣는 게 좋다고 생각하는 편이지만 경제학을 공부할 것이면서 수학 또는 통계학을 복수전공하는 것은 시간낭비라고 생각하기 때문에.... 현대대수학과 미분기하학에 대한 내용은 생략하겠습니다. 잘 알지도 못할 뿐더러 어떻게 쓰이는지도 잘 모르겠습니다. 개인적으로 현대대수학이 경제학부 전선인정 된다는 것이 조금은 놀라운 일이라는......
1. 선형대수학
타과생용 선형대수학이 있고 수학과 학생들 대상으로 하는 선형대수학1, 선형대수학2 가 있습니다. 저는 선형대수학 2의 내용이 만만치 않게 어렵고 선형대수학1 의 수준도 높기 때문에, 타과생용 선형대수학을 수강하면 충분하다고 봅니다. 타과생용 선형대수학은 1학기, 2학기, 계절에 모두 개설되는데 계절에 수업을 듣기는 상당히 어렵습니다. 처음 듣는 분들은 꼭 초반에 예습을 잘 하시기 바랍니다.
주 내용은 다변수 벡터 공간에 대한 이론적, 계산적 모든 내용을 배운다고 보면 됩니다. Friedberg 책의 경우 앞부분에 이론적인 내용이 몰려 있고 계산적인 내용이 뒤에 있어서 1장과 2장이 상당히 어렵게 느껴진다는 특징이 있습니다. 공부하면서 내용 하나하나도 중요하지만, 역행렬과 transpose와 같은 간단한 계산에 익숙해지는 것이 계량 공부하는 데는 큰 도움이 됩니다.
선형대수학의 수강 목적은 우선 경제수학 및 계량경제학을 중심으로 여러 경제학 과목들... 다변수를 다루는 모든 과목에 이용되기 때문입니다. 그러나 학부 과목에서 필요한 수준의 선형대수학은 경제수학에서 충분히 배우므로 굳이 선형대수학을 들을 필요는 없고... 정말 중요한 것은 선형대수학에서 수학적 논리성을 어느 정도 겪어본다는 것입니다. 여러 내용들의 증명을 읽고 직접 증명을 해 보는 것에 어느 정도 익숙해 져야 해석개론을 비롯한 다음 과정으로 나아갈 수 있는데, 그런 증명을 해 볼 과목이 마땅치 않습니다. 미적분학은 완전 계산 위주이고, 선형대수학이 제일 적합한 과목이라고 생각합니다.
Friedberg 책이 제일 좋습니다. 요즘 타과생용 선형대수학에서 응용 중심의 다른 책을 사용한다는 얘기를 들었는데 수학적 증명도 충분히 해 볼 수 있는 책이 좋습니다. 응용 중심의 책을 공부하면 해석 공부하는데 필요한 부분에 있어서 남는 게 없기 때문에....
선수 과목 : 없다.... 선수과목이 없다는 것이야말로 선형대수학으로 수학 공부를 시작하는 것이 적절하다는 이유 되겠습니다.
시너지가 있는 과목 : 경제수학.... 따라서 2학년 2학기에 경제수학과 선형대수학을 같이 듣는게 최적입니다. BUT.. 2학년 2학기에 거시-경수-선대-경통을 다 듣는 것은 결코 쉽지는 않은 일이고, 요즘 경제통계학 내용이 갈수록 어려워져서... (황윤재 교수님도 매우 어렵고 김재영 교수님 경제통계학도 예전보다는 많이 어려워졌죠. 요즘 경통을 2학년 1학기에 듣는 것은 거의 불가능에 가까워진 것 같습니다.)
즉 유학가려고 마음먹으신 2학년 분들은
미시-경제사-경수OR 경통 => 거시-선대-경수OR 경통 이런 방법이나,
미시-경제사 -> 경수-선대-거시-경통 이런 방법을 생각해 볼 수 있을텐데,
본인의 능력은 본인이 잘 아실테니;;; 능력껏 공부하시라는 말밖에 할 수가 없군요. 항상 공부할 때 학점이 낮아지기 시작하면 너무 무리하지 않는 것이 좋습니다.
선대를 들으면 더 잘 들을 수 있는 과목 : 계량경제학을 비롯한 다변수를 이용한 모든 과목, 미적2, 미분방정식..... 그리고 해석개론1.(내용에서는 겹치지 않지만 증명과 논리성을 선대를 들으면서 좀 굴려볼 수 있기 때문에...)
선형대수학은 그 어떤 과목도 선대를 필수로 요구하지는 않지만(경제학부의 경제수학으로 웬만큼 대신할 수 있기 때문이죠) 아주 많은 과목에서 꾸준히 이용되는 과목입니다.
공부하기로 늦게라도 결정하신 분들은 꼭 수강하시기 바랍니다.
2. 해석개론1
해석개론은 해석개론1, 해석개론2, 그리고 단학기로 개설되는 해석개론 과목 이렇게 세 가지가 있습니다. 그런데 세 과목 모두 참 다르기 때문에;;;; 별도로 이야기하려 합니다.
해석개론의 내용은 역시 수학의 경제 원론이라는 표현이 제일 적절합니다. 단순히 내용 상으로는 연속, 극한, 미분, 적분 등 미적분학의 내용이 절반을 차지하고 함수의 정의역이 되는 집합, 공간에 대한 개념이 그 반의 반, 그리고 앞부분에서 배우는 수열에 대한 깊은 이해 및 유리수나 다른 수체계와는 다른 실수의 성질에 대한 내용이 나머지를 차지합니다.
그러면 미적분학만 배우면 되지 왜 해석개론을 배우느냐... 우선은 함수를 다루는 데 있어서, 함수의 특징 뿐만이 아니라 정의역이 되는 집합의 특징도 상당히 중요합니다. 이를테면 일반적인 효용극대화 문제에서 해가 존재하려면, 효용함수가 연속이라는 것이 중요한 전제조건이지만, 동시에 예산집합이 compact set이라는 것도 아주 중요한 조건입니다. 즉 함수의 내용과 집합의 내용 둘 다 필요한 것이죠....
또한 동시에 해석개론의 접근 방법은 수학의 엄밀함을 그대로 보여줍니다. 일일이 하나하나 공리를 세우고 정의를 내린 뒤 그것을 바탕으로 엄밀하게 증명을 해 가며 체계를 세워 나갑니다. 경제학에서 필요로 하는 논리적 사고를 튼튼하게 세워 주죠. 수학의 필요성을 두가지로 나누면, 논리적인 면, 해의 존재성에 대한 부분과, 계산적인 면, 구체적으로 해가 무엇인지에 대한 부분으로 나눌 수가 있는데 경제학에서는 세부 분야에 따라 다르지만 두 가지를 다 필요로 합니다. (반면 공대에서는 계산 쪽에 치우쳐 있고, 수학 과목은 논리적인 면에 치우쳐 있죠. 공대에서 미분방정식, 편미분방정식, 복소함수론을 세트로 배우는 게 그 때문입니다. 경제학부에서는 그다지 필요가 없습니다.)
결국 경제학부생이 해석개론을 듣는 목적은 내용적인 측면과 논리적 체계를 배우는 측면 모두 있다고 할 수 있습니다. 동시에 실변수함수론, 위상수학과 같은 상급과목을 듣기 위해서도 해석개론은 반드시 필요합니다. 아마 학부 과목에서 해석개론을 필요로 하지는 않을 것입니다. 하지만 대학원 전필 과목에서는 전반적으로 해석개론의 기본적인 개념들.. open set, closed set, compact set, continuous.. (함수의 연속성이 어떤 것인지는 해석개론을 듣다 보면 보다 명확히 알게 됩니다.)이 골고루 쓰입니다. 유학 생각하든 그렇지 않든 대학원 들어오실 생각이라면 우선 해석개론을 어느 정도는 공부하는 것이 좋다는 것은 이 때문입니다.
해석개론1은 늘 1학기에 개설됩니다. 해석개론 2는 늘 2학기에 개설됩니다. 해석개론1은 수학과 전필과목입니다. 보통 교수님께서 진행하는 강의가 듣는 사람들은 빡센 사람들이 더 많은 대신에 보통은 강사님들보다 더 나은 강의를 기대할 수 있다는 장점이 있습니다. 어느 강좌를 고를 것인지는 그때그때 생각하시고... 책은 어느 책을 선택하든지, 해석개론1의 내용은 엇비슷하고, 해석개론 2의 내용은 책에 따라 좀 많이 다릅니다. 저는 Marsden의 elementary classical analysis를 강력추천합니다. 수학 책은 내용이 같을 때, 두껍고 커다란 책일 수록 좋습니다. 설명이 친절하고 그림과 예시가 많다는 뜻이니까요. marsden이 꼭 그런 책입니다. 아마 상당수의 강의는 한글 계승혁 교수님 책으로 나갈 텐데 이 책은 책 한 자 한 자를 경전 읽듯이 그 뜻을 새겨가면서 읽어야 하는, 매우 만만치 않은 책입니다.
선수 과목 : 미적 1을 들으면 해석개론에 해당하는 내용을 미리 익힐 수 있어 도움이 되지만 꼭 듣지 않아도 해석1은 들을 만 합니다. 미적 1 한번 훑어 읽으시면 좋구요. 오히려 더 필요한 과목은 선형대수학입니다. 기본적인 증명에 대한 훈련이 되어 있지 않으면 새로운 세계에서 길잃고 방황만 하다가 성적표에 지울수 없는 상처만 남기기 십상인 과목입니다. 오히려 미적1과는 크지는 않지만 어느 정도의 시너지를 기대할 수 있을 것입니다. 조금.. 시너지가 있습니다.
저는 3학년 때 해석개론을 들으면 좋다고 생각하지만 정말 쉽지 않은 일입니다. -_- 해석개론을 미리 듣고 대충 자신의 실력 파악한 다음에 내년에 재수강을 하든 아니면 더 어려운 과목을 듣든 하는 것이 가능하다고 생각하기 때문입니다. 단 해석개론1은 숙제가 매우 많은 과목이고, 동시에 수학의 본격적인 첫발을 내딛는 과목이어서 아주 적응하기 힘들 것입니다.
그래서 해석개론 수강할 때는, 최소한 같이 듣는 사람 여러 명이서 함께 공부하면서 숙제 함께 하시고, 더 나아가서는 겨울방학 중에 미리 스터디를 할 것을 권합니다. 단순히 해석 책 솔루션만 구해서는 실력이 늘지 않으니 서로 얘기하고 물어가면서 실력을 키우고, 동시에 서로의 문제점을 서로 수정할 수 있어야 합니다. 맘 같아서는 SFERS에서 매해 해석개론 스터디 정도는 론칭을 하고 싶은데... -_-;;;;;
덧붙이자면, 모든 수학 과목의 규모의 경제는 실로 엄청납니다. 혼자 끙끙거리지 말고 무조건 사람 모아서 같이 들으세요. 주위에 없으면 동아리나 다른 길도 찾아 보고, 아니면 경제학부 게시판에 글을 올려도 좋구요. (게시판에 글 올린 인연으로 만난 선배가 있는데 실력 아주 대단하시다는^^) 아니면 출석 부를 때 순서 보고 경제학부세요?? 하고 말 걸어도 되구요. 쪽팔리다가 학점 나가리 나는 수가 있으니;;;; 협력하시기 바랍니다. -_- 해석개론1은 정말정말 중요한 과목입니다.
3. 단학기 해석개론
단학기 해석개론은 매 학기에 1강좌씩 개설이 됩니다. 주로 강사님이나 은퇴하신 명예교수님들께서 주로 강의를 맡습니다. 해석개론1-2는 보통 수학과의 강의실력 에이스인 교수님들께서 주로 강의를 맡는데 말이죠. (최근 강현배 교수님, 계승혁 교수님, 이우영 교수님 모두 다 강의 잘 하신다고 하죠) 단학기 해석개론의 경우 윤재한 교수님께서 꾸준히 맡으시면서 좋은 강의로 알려져 있었는데 요즘에는 어떤지 모르겠군요. 최악인 학기도 한 번 있었다고 하고. 괜찮았다고도 하고.
단학기 해석개론은 해석개론 1년 동안 공부할 것을 속성으로 배운다고 생각하면 됩니다. 그래서 문제는 충분한 증명과 논리성에 대한 경험을 해 볼 수가 없다는 것. 하지만 경제학에서 필요한 기본적인 집합과 공간에 대한 개념들은 빨리 익힐 수가 있다는 것. 그런 장단점이 있습니다. 일단 대학원에 관심이 있는 학부생 분들께 아주 괜찮은 수업이 되지 않을까 저는 생각합니다. (저는 단학기는 들은 적이 없습니다.) 다만 가르치시는 교수님께서 난감할 수 있죠.
하지만 더 큰 문제는 많은 내용을 강의하다 보니 내용에 대한 선수지식.. 특히 미적분에 대한 선수지식이 없으면 따라가기에 벅찰 정도로 양이 많아질 수 있다는 것입니다. 따라서, 단학기 해석으로 때울 생각을 하고 있다면 미적분학 1-2를 좀 더 철저히 자습하거나 수강하는 것이 더 좋습니다. 그래도 해석개론1을 직접 듣는 것보다는 부담이 덜하겠지만 말이죠. 숙제도 더 적을 거고 같이 듣는 사람들도 수학과 전공생이 아닌 타과생일 거구요. 교재는 Protter의 책을 쓰는 것 같던데 두꺼운 책 얇은 책 두 가지 모두 틈틈이 사용하는 것 같더군요.
4. 해석개론2
해석개론2는 2학기에 늘 개설됩니다. 해석개론2는 또한 수학과 전필과목이 아닙니다. 그런데도 강좌는 3개여서 20명 내외의 소규모 수업이 되기도 하지요..... 수학과 전필이 아니라는 것은 중요한데, 즉 이제부터는 수학과 학생들 전체가 아닌, 수학과 학생들 상위 몇 % 이런 식으로 갈수록 뛰어난 사람들만 남는다는 얘기입니다. 그래서 수학과목을 듣다 보면 체감 난이고, 해야할 숙제의 양, 그리고 학점을 받기 어려워지는 정도가 모두 상승하는 것을 느끼실 수 있을 겁니다. 항상 수학 과목 들을 떄는, 학점 나쁘게 나온 것을 선수 과목 잘 받아서 메꾸겠다는 생각을 쉽게 해서는 안 됩니다. 불가능은 아니지만 정말 간단하지가 않습니다. 자신이 정말 운이 없어서 그랬다면 몰라도 실력이 부족하다면 한 단계 업그레이드 된 과목에서도 밀리기 십상이니까요.
해석개론2는 조금 어중간한 과목인게 책 마다 내용이 다릅니다. marsden을 비롯한 여러 책들은 함수열과 함수공간을 앞에서 배운 뒤 2에서는 다변수 미적분학과 기초적인 적분론에 대해서 배웁니다. 계승혁 교수님 책의 경우 다변수 미적분학을 전혀 다루지 않고 함수열, 함수공간을 자세하게 배웁니다. 심지어는 르벡적분까지 다루는 만행(?)을 저지르기도 하지요. 이 중에서 함수열과 함수공간에 대한 내용은 더 높은 과목으로 올라가기 위한 아주 중요한 내용입니다. 또한 푸리에 급수에 대해서 어느 정도 배우게 됩니다. 푸리에 급수는 계량경제학에서는 상당히 중요하게 다루는 내용입니다만... 결국 르벡적분을 배워야 좀 제대로 이해할 수가 있으니 알쏭달쏭하군요.
개인적으로는 다변수 미적분에 대해서 그렇게 입실론 델타 써가면서 배울 필요가 있나... 싶기 때문에 함수열에 대해서 보다 더 잘 배우는 게 낫지 않나 싶습니다. 게다가 리만 적분론의 경우는 결국 르벡 적분론을 배우고 나면 크게 의미가 없어지기 떄문에... 하지만 결국 어떤 경우든, 실변수함수론으로 올라가는 길목에 있게 됩니다.
선수과목은 권장사양 해석개론1, 최소사양 단학기 해석개론 되겠습니다. 해석개론2에서 다변수 미적분을 다루는 경우 미적2를 공부하는 것이 직접적으로 큰 도움이 됩니다. 시너지도 상당하구요.
조금 한마디를 더 붙이자면 이상의 수학 과목들은 기초적인 과목들이기 때문에, 일단 강의를 정했으면 교수님이 어떻든 간에 웬만하면 무조건 들어야 합니다. 어짜피 들어야 할 과목인데 한 번 교수님 맘에 안 든다는 핑계로 빼버리면 한 학기에서 많게는 1년까지 뒤쳐집니다. 우선 잘 정해야 하고, 만약 그 해에 교수님들이 잘 맞지 않으면 그냥 그걸 감수하고 듣는 수밖에 없습니다. 참고로 제 친구는 해석개론 1을 교수님 맘에 들지 않는다고 안 들었다가, 다음 학기에 단 학기 해석개론을 듣고 어쩔 수 없이 바로 실변수함수론을 들어버리더군요-_-;;;;;; 보통 수학과에서 말하는 커다란 한 단계를 한번에 세 개를 건너뛴 셈입니다. 웬만해서는 불가능한 일이니;;;;
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5. 실변수함수론 및 대학원 실해석학
실해석학 real analysis라는 과목이 대학원에 있고 이 과목은 거의 늘 Rudin의 real and complex analysis의 앞부분 real analysis를 끝내는 것을 목표로 합니다. 2학기에는 이 책의 뒷부분을 복소함수론 대학원 수업에서 마무리하게 됩니다. 실변수함수론은 대학원 실해석과 해석개론의 한 가운데에 있는 수업입니다. 두 과목의 수준차를 둘 사이에서 보정해 주는 역할을 합니다. 다르게 말하면 명확한 커리큘럼이 없다는 것인데, 교수님에 따라서 아주 쉽게 강의하기도 하고 거의 대학원 해석학에 맞먹게 빡세게 나가기도 합니다. (계승혁 교수님의 경우)
실변수함수론, 대학원 실해석 모두 1학기에만 개설되고 있습니다.
실변수함수론이 다른 이름으로 적분론, 측도론 등으로 불리는데 이는 주 핵심 내용이 추상적분 및 추상측도이기 때문입니다. 실해석학에서 추상적분 및 추상측도를 중심으로 시작하여 측도의 존재성을 이야기한 뒤 르벡적분에 대한 내용을 간단하게 다루는 데 반해 '보통' 실변수함수론에서는 르벡측도 및 르벡적분에 대해서 충분히 다룬 후에 추상측도 및 추상적분을 간단하게 다루게 됩니다. 그 외에 힐버트 공간, 바나하 공간 등 함수공간에 대한 내용을 보다 심화시켜서 다루게 되고, 푸리에 급수 및 푸리에 변환, 라돈-니코딤 정리(금융 하시는 분들은 기본적으로 사용한다는 정리인데... 어떻게 사용하는지는 아직 저도 잘 모릅니다), 곱측도와 푸비니 정리... 등등의 내용을 배웁니다. 대학원 실해석에서는 이상의 내용을 모두 다루게 되며, 학부 실변수함수론에서는 르벡적분/르벡측도에 대한 내용으로 거의 절반 이상을 진행하며 나머지 시간에 위 내용들을 선택적으로 나가게 될 것입니다.
실변수함수론이 아주 중요한 과목이 되는 이유는 적분과 측도에 대한 이해를 만들어 주는 과목이 실변수함수론이기 때문입니다. 적분 하면 expectation.. '기대값'이구요. 결국 계량 및 금융에서 이용하는 확률론으로 들어가는 기초 과목이 됩니다. 개인적으로 계량이나 금융 전공하실 분들은 학부 실변수함수론 정도는 수강하시고 측도(measure)가 뭔지 정도는 알아두셔야 한다고 생각합니다. 미시이론과 거시이론에서 구체적으로 어떻게 이용되는지는 아직 잘 모르겠습니다만... 동적 최적화와 최적함수의 존재성 등을 이야기하려면, 동시에 확률적 모형을 생각하려면 이 내용이 필요하지 않을까 싶습니다.
그리고 현실적으로는 김재영 교수님, 황윤재 교수님 대학원 제통계학연구 내용 앞부분의 확률론, 그리고 뒷부분의 점근이론 부분을 이해하는 데 실변수 함수론은 상당한 도움이 됩니다. 대학원 1학년 때 시간이 조금 남으면 실변수 함수론을 앞부분 만이라도 청강한다면, 전필과목의 짐을 어느 정도 덜어줄 것입니다.
rudin 책과 계승혁 교수님 실해석 책은 내용이 엇비슷하고 둘 다 상당히 어렵고 얍축적입니다. royden 책은 설명이 친절한 대신 뒷부분에서는 다른 수학 용어들을 사용하다 보니 보통 해석학 줄기만 잡고 올라가는 경제학부 학생들에게는 조금 난감한 부분이 있습니다. royden 책의 1장 ~ 6장, 그리고 11장과 12장은 기본적인 측도론을 이해하기에 아주 좋은 내용이라고 생각됩니다. 다른 부분들은 조금 어렵습니다. rudin 책의 또 하나 단점중의 하나가 위상수학에서 쓰는 내용을 상당히 사용한다는 점입니다. 그래서 지나치게 추상적인 내용부터 시작합니다. Folland 책의 경우 추상측도부터 다루고 있지만 위상수학 내용들은 중간부터 나오기 때문에 책의 구조 자체는 Folland책이 가장 좋다고 느껴집니다. 다만 제가 이 책을 깊이 읽지 않아서 구체적인 책의 느낌은 잘 모르겠군요. (책 제목은 모두 real analisys입니다.)
실변수함수론의 경우 해석개론 1,2 모두 다 듣고 가는 것이 좋지만 해석개론1만 듣고 들어도 상관없고 이 경우 해석2에 있는 함수열 및 함수공간에 대한 내용은 자습해야 합니다. 실해석학은 실변수함수론까지 듣고 들으면 좋지만 해석개론 1,2만 들어도 수강할 수는 있습니다. 실변수함수론을 어느 정도 예습하면 도움이 되지요. 실해석학은 오히려 위상수학개론에 대한 예습이 정말 필수입니다. 수강을 할 필요까지는 없는데, 위상에 대한 내용이 초반에 나오기 때문에 예습을 안 하고 가면 상당히 막막할 것입니다.
실변수함수론 들을 경우 실해석학으로 나갈 수 있습니다. 동시에 확률론의 수강에 상당한 도움이 됩니다. 통계학과 대학원의 확률론은 우리가 접하는 수리통계 계열의 통계학보다 해석학에 훨씬 가까운 과목인데, 이 과목을 들으려면 미리 실변수함수론을 듣거나, 혹은 실변수함수론과 동시에 들어도 큰 문제는 없습니다. 실해석학을 들으면 함수해석학 1,2를 들을 수 있습니다만.... 예전부터 궁금한 것이 과연 이것까지 다 듣고 유학을 나가시는 분이 과연 있는지 모르겠군요. 보통의 경우 실변수함수론 또는 실해석학이 유학 나가기 전에 들을 수 있는 수학 과목의 한계일 것입니다.
6. 함수해석학 1,2
해석학에 대한 내용을 완료하도록 하죠... 그전까지는 그런대로 재미를 붙였든 아니면 의무감에든 수학을 들으셨던 분이라도 실해석에서 충분히 고생하셨을 거고... (대학원 과목 B 받으면 그 타격이 상당하죠. 수학 과목은 뭐를 듣든 일단 B를 남기면 좋지 않다고 보면 됩니다. 특히선대와 해석1) 함수해석까지 듣게 되려면 정말 수학을 좋아하고 시간도 아주 충분한 경우여야 하기 때문에 거의 불가능할 것입니다.
배우는 내용은 실해석학에서 배운 바나하 공간, 힐버트 공간에 대한 내용의 확장 버전이라고 생각하시면 됩니다. 동적 적화 및 고급의 통계학에서 이용한다고 합니다. 저도 아직 들어본 적이 없고.... 책은 주로 conway 책을 쓰는데 실해석학 공부하시다 보면 가끔 이 책을 찾아보게 될 것입니다.
7. 미적분학 1,2 (수학 및 연습 1,2)
저는 수학 및 연습 1을 수강하려고 수 차례 시도했지만 그 때마다 귀찮음을 필두로 한 각종 사정이 생겨서 결국 지금까지 듣지 못했습니다. channy 님 말도 굳이 미적분학 들을 필요는 없다.... 였기 때문이기도 합니다.
수학 및 연습1은 1학기에 수십 개 강의가 개설되고 계절에 10개 이상, 그리고 2학기에 한 개가 개설됩니다. 수학 및 연습2는 2학기에 수십개, 계절에 4-5개, 1학기에 한 개가 개설됩니다. 강의 난이도는 비슷한데 듣는 사람들의 수준이 계절이 제일 높고, 수십 개 강의 중의 하나를 듣는 것이 제일 낮습니다. 그 밖에 고급수학 및 연습 1,2 라는 강의가 있는데 강의는 괜찮지만 문과생의 수강이 불가능하고, 기초수학, 인문사회계를 위한 수학, 인문사회계를 위한 수학1, 인문사회계를 위한 수학2가 모두 미적분학에 해당되는 과목입니다.
강의의 내용은 각 강의마다 조금씩 모두 다릅니다. 미적분학 하면 보통은 1학기에 1변수 미적분, 2학기에 다변수 미적분을 다루는데, 예전까지 1변수 미적분의 상당 내용이 고교 교과과정에 포함되었기 때문에 수학 및 연습의 경우 1학기에는 수열 및 급수에 대한 내용, 선형대수 기본, 등등의 내용을 배우고 2학기에 다변수 미적분 및 벡터장의 내용을 배우게 됩니다.
경제학에서는 미적분에 대한 기본 내용은 정말 소중하게 필요합니다. 그리고 다변수 미적분에 대한 내용도 중요하고(그래서 대부분의 경제수학 강의에서 다변수 미적분을 중요하게 다룹니다.)... 그래서 미적분학 수강이 필요한가.... 그건 좀 다르다고 생각합니다. 어짜피 미적분학의 주요 내용은 경제수학에서 상당히 커버하게 됩니다. 또한 수학 및 연습 1,2에서는 곡선 및 벡터장에 대한 내용을 상당히 많이 배우는데 이거 경제학에서 직접적으로 쓰일 일이 많지 않습니다. 또 수학 및 연습 1,2에서 사용하는 김홍종 교수님의 미적분학 책이 좀 깔끔하지가 못합니다.
그럼에도 수학 및 연습 1,2를 수강하는 것이 괜찮은 이유는 우선 충분한 계산 경험을 할 수 있다는 것입니다. 해석과는 달리 미적분학 시험은 다양한 계산 테크닉에서 결정이 납니다. (그래서 미적을 들어도 해석에 큰 도움은 안 되는 것입니다) 계산적인 측면에서 말려서 논문에 지장이 오는 경우도 많고, 여하는 계산적인 면도 중요하기 떄문에 미적분학에서 충분히 연습이 가능하다는 것... 그리고 또 한가지는, 미적분학 수강기록이 중요하기 때문입니다. 설령 미시경제학 연구를 들었어도 학부 미시경제이론 안 들었으면 조금 뒤가 찝찝한 것과 마찬가지로 미적분학 안 들으면 뭐가 좀 그렇습니다. 듣기로는 Top10 정도면 몰라도 그 아래로는, 단순히 해석개론 1,2만 들어서는 미적분학의 빈 자리가 좀 크게 보인다고 합니다. 결론적으로 실해석까지 뺄 자신이 있거나 무조건 top 10 갈 자신있다... 하시는 분들은 미적분학 안 들어도 되겠지만...;;;;;
책은 개인적으로는 다변수 미적에 대한 책인 marsden, tromba의 vector calculus를 추천합니다. 고급수학 교재로도 쓰이는데...공부하다가 막히는 부분이 있다면 다변수 부분일 것이기 떄문에, 한 권 갖고 있으면 괜찮은 책이라고 생각합니다. 수학 및 연습 1,2의 맨 끝 강의는 영어강의로 진행되는데 이 강의에서는 Thomas calculus를 사용하고 일변수 미적까지 모두 다룬 책 중에서는 상당히 많이 이용되는 책입니다.
그리고 인문사회계를 위한 수학은 경영대용 수업이고(내용은 경수랑 좀 비슷하다는 데 저도 정확히는 모릅니다.) 인문사회계를 위한 수학1과 인문사회계를 위한 수학 2는 경제학부생 등을 상당히 배려한 수업으로 진행되는데 일변수 미적-다변수 미적을 교양을위한 대학수학 1-2권으로 진행합니다. 일이 있어서 이 책을 보았는데 미적분에 대한 기반이 없는 경제학부 후배 분들에게 거의 최상의 책이라고 느껴졌습니다. 경제수학 수업은 적분에 대한 얘기가 너무 부족하죠. 경제통계학은 적분이 핵심인데... 이 책은 미적분학 전반을 충분히 다루면서 경제학에서 거의 쓰지 않는 부분은 삼각함수-복소수 내용 외에 거의 없어서, 아주 괜찮아 보였습니다.
기초수학 수업도 그런대로 괜찮은 수업인데 이 인사수 수업이 기초수학을 능가하는 것 같더군요.
선수 과목은 고교이과 수2... 내용을 좀 듣고 가야 안전합니다. 영어강의 미적분이나 인문사회계 수학은 선수과목이 없습니다. 시너지는 경제수학과 수학및 연습2의 시너지가 좋을 것입니다. 계산은 늘 고학년 올라와서 익히려고 하면 짜증납니다. 일찍 공부하기로 마음먹었다면 2학년, 그렇지 않다면 3학년에 듣는 것이 좋다고 생각합니다.
8. 미분방정식 및 편미분방정식
미분방정식은 미적분학을 능가하는 계산 지향적 수업입니다. 2학기에는 미분방정식 및 연습이 개설되고 미분방정식 타과생용은 1-2학기, 계절학기에 늘 있습니다. 이 과목의 경우는 수학과 자연대 분들이나 공대 분들이나 큰 차이가 없지만... 그래도 그냥 미분방정식이 조금 낫지 않을까 싶습니다. 보통 미방 들을 즈음 되면 21학점 채워 듣는 분들이 많을 텐데 4학점짜리 한 과목은 달고 다니기 불편하기도 하고....
내용은 말 그대로 미분방정식.. 근데 미분방정식 푸는 방법 못지 않게 풀지 못하는 미분방정식이 많다는 것도 배웁니다. 결국 계산이 정말 중요한데, 이과생, 공대생들에 비해 삼각함수 등에서 밀리기 때문에, 우리는 중요한 삼각함수 공식 몇 개는 꼭 외워가야 합니다. 하지만 문과생이 절대적으로 밀리는 과목은 아닙니다. 너무 겁낼 필요는 없다는...
아마 더 이상 수학 과목도 경제학 과목도 충분히 들어서 별로 들을 것이 없는 학부생 분들이 듣게 될 것입니다. 특히 미분방정식은 계절학기에도 있어서 학점 채우기 좋죠. 선형대수학의 경우 계절학기에 들을 경우 내용도 빠르고 따라가기 힘든데 미방은 순 계산이라 시간투입만 더하면 계절에 들어도 크게 난이도 차이는 없습니다. 경제학에는 경제성장론을 비롯한 여러 동학에서 쓰이게 됩니다. 미적분학도 그렇지만 미분방정식 이야말로 시험 볼 때 공식 외우고, 시험 끝나면 까먹고, 공부할 때 필요하면 그 때 다시 찾아보고...그런 수업인데 제 경우는 미분방정식 수업 들은 이후 별로 쓴 일이 없어서 내용을 거의 기억하지 못하고 있습니다. -_-;;;; 나중에 다시 찾아볼 일이 생길텐데 좀 걱정이라는.
미분방정식의 특징적인 점은 몇몇 교수님의 경우 계산이 아닌 증명 방향으로 강의를 하거나, 아니면 일부 편미방까지 섭렵하도록 아주 빡세게 강의를 나간다는 점입니다. 이 경우에는 준비를 단단히 해야 하니 수강신청 전에 미리 강의계획서를 확인하기 바랍니다. 책 3장까지 나가는 경우가 일반적입니다. 물론.. 교수님께서 처음에는 6장까지 나가고 싶었지만 결국 3장밖에 못 나가는 경우도 많지만 말입니다.
선수과목은 미적분학이 아니라 선형대수학입니다. 미적분학은 미적분이 뭔지만 알면 되고... 수학 및 연습을 안 들어도 큰 문제는 없습니다. 어짜피 공식 외우는 건 미적분학 수업 들었든 안 들었든 거의 같으니까요. 미방 3장 쯤에서 선형대수학의 내용을 상당히 많이 사용하므로, 미리 수강한 경우에만 들을 수 있을 것입니다.
미분방정식 들은 후에 편미분방정식을 수강할 수 있는데 여기서 넘어가는 discrete jump는 그 폭이 엄청납니다. 해석학을 비롯한 상당히 다양한 수학을 사용하여 따라가기가 상당히 어렵습니다. 금융에서 주로 사용하는데 편미분방정식 수업의 경우 경제학에서 쓸 일이 없는 내용이 워낙 많아서 굳이 수업을 들을 필요는 없다는 의견이 대다수였습니다.
9. 위상수학
위상수학개론 1,2로 개설되고 개설학기는 자주 변동된 끝에 최근에는 1학기에 1, 2학기에 2가 개설되었습니다. 위상수학의 내용은 해석학에서 시작된 일반화의 확장 버전으로 더욱 일반화시킨... 예를 들어 설명할 수가 없고 머리속에서 잘 그려지지도 않는.. 그런 내용들을 배웁니다. open set의 개념이 확장되어 그걸 토대로 여러 체계를 세우고 연속의 개념도 달라지게 됩니다. 기본적인 위상에 대한 지식은 대학원 실해석학으로 나아가는 데 필수적입니다. 또한 고급미시이론에서는 상당히 중요할 것 같고... 측도론을 다루는 데 쓰이기 때문에 결국 계량이나 금융을 생각하시는 분들도 들어두면 좋지 않을까 생각됩니다. 보통은 위상수학개론1 정도만 수강하면 충분하다고 합니다. 고정점 정리는 2에서 배우는데 그렇게 고정점 정리만 깊게 배우는 것도 아니니까요.
munkres 책이 좋다고 생각됩니다. 교재로 munkres와 kahn을 사용하는데 kahn은 파격적으로 얇은 책이어서... 설며이 충분한 munkres로 자습하는 것이 괜찮더군요. 선수과목은 해석개론 1 정도만 들어도 충분하고... 말씀드렸듯이 실해석학 듣는데 도움이 됩니다. 역시 학부 때 시간 여유가 있는 경우 듣는 것이 좋습니다. 또 서울대 수리과학부 위상 담당 교수님들이 대부분 명강의로 알려져 있어서, 여유 있을 때 듣기는 꽤 좋은 수업이 아닐까 싶습니다.
10. 복소함수론
복소함수론도 최근 과목명의 변동이 아주 심했는데요... (수학과는 커리큘럼이 상당히 자주 바뀝니다.) 최근에는 복소함수론 1,2가 되어 각각 1학기와 2학기에 있고 복소변수함수론이 타과생을 위한 과목으로 개설되고 있습니다. 대학원 복소해석학에서는 상당히 이론적인 과목으로 탈바꿈한다는데.... 학부에서는 이렇게 이렇게 계산하면 깨끗하게 적분이 계산된다는 것을 상당히 많이 배운다고 합니다. 저는 듣지 않았고 주위에 몇몇 친구들이 들었는데 주로 공대생들이 많이 듣고, 경제학부생의 경우 굳이 들을 필요는 없다는 의견이 대다수였습니다. 게다가 위상과는 딴판으로 서울대 수리과학부에 복소함수 담당 교수님들 중에서는 좀 폭탄-_-이 많습니다. 강현배 교수님께서 주전공이 이쪽에 가까울텐데 이쪽 강의는 거의 많으시지를 않더군요. 최근에는 새로운 복소 담당 새로운 교수님도 오셨다는데 앞으로는 어떻게 될지 모르겠습니다. 경제학에서는 계량경제학 및 시계열에 어느 정도 유용하다고 합니다. (통계학과에서도 복소함수론이 중요하다는...) 그러나 역시 자습하면 충분한... 그런 정도입니다.
11. 수치해석개론
수치해석개론, 수치선형대수, 대학원의 수치해석 등이 모두 같은 계열의 과목입니다. 수치해석은 컴퓨터 프로그래밍을 통해서 문제를 푸는 것이 핵심 과제입니다. 따라서 프로그래밍 숙제가 상당히 많이 나오고... 할 일은 상당히 많은 수업이지만 경제학에서도 실제 데이터를 다루면서 컴퓨터를 만지로 해를 구해야 할 일이 많기 때문에 어느 정도 유용한 수업이라고 합니다. 다르게 말하면 엄밀함과는 상당히 거리가 먼 수업이라는.... C를 주로 사용한다고 들었습니다.
그러나 역시 이 과목들도 자습하면 충분한 정도... 라고 알고 있습니다.
12. 확률론
통계학과 과목들에 대해서도 몇 자 덧붙이겠습니다.
통계학은 크게 확률론/이론통계/응용통계 이렇게 나눌 수가 있을 텐데요. 그 중 확률론에 해당하는 과목은 학부에서 확률의 개념 및 응용(1학기), 랜덤 프로세스(2학기), 고급확률과정론(1학기), 확률론1(1학기), 확률론2(2학기) 입니다.
확률론도 세부적으로는 확률이론 부분과 확률과정론 부분으로 나눠지는데 확률이론에 해당하는 과목은 확률론1, 확률과정론에 해당하는 과목은 랜덤 프로세스, 고급확률과정론입니다. 확률의 개념 및 응용과 확률론 2는 둘 모두에 해당됩니다. 확률이론의 경우는 이미 알고 있는 내용인 확률변수에 대해서, 확률변수가 일종의 측도임에 착안하여 해석학, 실변수함수론의 내용을 이용하여 여러 정리들을 증명하게 됩니다. 그 밖에 확률변수의 다양한 수렴모드, 대수의 법칙, 특성함수, 중심극한정리가 확률론1의 주요 내용입니다. 확률의 개념 및 응용은 이보다 더 기본적인 내용들을 배운다고 알고 있습니다. 확률과정론은 renewal theory, markov chain, poisson process 등의 내용을 주로 배우고 잘 익히면 미시이론 등에 확률모형으로 응용할 수 있습니다만 확률이론에 비해서는 전반적으로 경제학에서 필요한 정도는 조금 낮습니다. 확률론 2에서는 이것들을 종합하여 조건부확률에 대한 이론적인 내용 및 brownian motion, 마팅게일 등의 내용을 배우게 됩니다.
계량, 금융 뿐 아니라 확률적인 부분을 도입하는 미시-거시에도 상당히 중요한 내용인데 문제는 통계학과 확률론 계열 강의가 거의 모두 그닥 좋지가 않습니다. 또 확률론의 경우 좋은 책들도 많지가 않구요. 스탠다드하게 Billingsley 의 Probablity and measure, 고전적인 확률론 책으로 kai lai chung, 그리고 확률과정론 부분에 중점을 둔 Durrett의 최근 저작 Probability 책 등등이 있는데 하나같이 좀 설명이나 구조가 좀 맘에 들지 않습니다. 여러 가지로 쫓아가기가 쉽지 않은 수업인데(학점도 잘 주지 않습니다.) 내용이 워낙 중요하게 쓰이는 데가 많습니다. 적절하게 청강하는 것도 좋을 듯하고.... 여하튼 중요하게 쓰는데가 많은데도 대학원 확률론 수강에 대한 추천은 조금 꺼려집니다. 아마 통계학과 과목으로는 수리통게를 많이들 들으실텐데, 포인트는 확률론은 수리통계보다는 해석학에 훨씬 가까운 수업이라는 것... 기억해 두시기 바랍니다.
13. 수리통계 및 이론통계
수리통계는 확률론에 대한 아주 기본적인 내용을 바탕으로 여러 가지 분포에 대한 이론, 기본적인 수렴모드에 대한 내용을 1학기에 배우고, 추정 및 검정에 대한 전반적인 내용을 2학기에 배웁니다. 참고로 대학원 경제통계학 연구에서는 수리통계 2학기 내용+@를 1학기에 배웁니다. 즉 수리통계 수업은 진도는 그렇게 빠르지 않지만, 상당히 상세하게 배우고 계산경험을 정말 많이 하게 되는 장점이 있습니다. 그래서 들어 두면 분명히 좋기는 한데 대학원 경제통계학 연구가 있기 때문에 계량 경제학 전공할 사람이면 꼭 들어야 한다... 이런 말을 하기가 좀 그렇습니다. 대학원 이론통계는 수리통계학의 확장 버전입니다. 회귀분석 강의의 경우에는 예전에는 경제학부 분들이 꽤 들었는데 요즘에는 학부 계량경제학 강의가 워낙 확충되어서 굳이 들을 필요가 없을 것 같습니다.
기타 과목들은 과목명이 과목의 내용을 워낙 잘 소개해 주고 있습니다. 관심있는 과목만 골라 듣기 쉽게 되어 있습니다. 그래도 통계학과 복수전공은 좋지 않은 것 같구요. 결국 교수님 이름에 좀 신경을 써 주시면 될 것입니다. 박태성 교수님의 경우 괜찮은 강의로 알려져 있고 김우철 교수님의 경우 상당히 빡센 강의이지만 그만큼 남는 것도 많다는 수업입니다. 새로 오신 몇몇 교수님들도 강의 괜찮다고들 하구요. 하지만 노교수님에 대한 평은 전반적으로 좋지 않은 편입니다. 다 그렇지는 않지만....
이 정도로 비로소 제가 대충 이 게시판에 그간 끄적이던 내용들을 모두 쏟아낸 것 같군요. -_-;;;;;;
스크롤의 압박이 심하니 Ctrl+F 를 눌러 주시는 것도 아주 좋습니다.
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요즘 방학이고 해서 시간도 좀 남고 해서 좀 글을 남겨 볼까 합니다. 경제학과 수학에 대한 얘기를 하고 싶은데, 우선 지금 쓰려고 하는 것은 제 생각일 뿐이라는 걸 강조하고 싶습니다. 수학에 대한 생각은 사람들마다 다릅니다. 교수님들도 선대와 미적이면 충분하다는 교수님들부터, 통계학과나 수학과의 석사 2학년 과목들까지 들으면 들을수록 좋다는 교수님들까지 의견이 다양합니다. 여러분들의 생각은 여러분들이 만들어 나가는 거죠....
수강신청기간인데, 요즘에는 경제학부 전반적으로 이전보다는 수학을 좀 더 많이 듣는 것 같습니다. 05학번 2학년들도 열심히 하는 사람들이 많고...선형대수학 같은 수업은 경제학부생이 절반 가까이 된다고도 하구요. 수학을 공부하는 것은 경제학을 공부함에 있어서 주요한 도구들을 잘 사용하게 해 주고 동시에 논리적으로 탄탄하게 해 줍니다. 개인적으로는 좋은 현상이라고 생각합니다.
그런데 이런 경향이 조금은 지나치다는 생각도 듭니다. 고시공부하는 분들까지 선형대수를 듣는다는 얘기도 있고, 계량경제학 공부하다가 모르는 게 나온다는 데 좌절하면서 선형대수를 들어야만 되겠다고 하신 분도 있었습니다. 또 지금 생각해 보니 제가 공개자료실에 퍼온 channy 님의 글이 각론에 대해서 정말 잘 짚고 있지만 동시에 결론 부분에서는 수학의 중요성을 지나치게 강조하고 있기도 하구요.
우선 주변 사람들이 그렇다고 해서 무조건 따라가려는 경향은 좋지 않다고 생각합니다. 그냥 너나 나나 고시공부한다고 해서 고시공부 시작하면 좋은 결과 얻을 수 없듯이, 자신의 진정한 필요에 의해서 수학 공부 시작하는 것이 아니면 좋은 결과 얻기 힘듭니다. 수학이라는 것은 경제학과는 다른 새로운 학문이고 다른 방법으로 접근해야 합니다. 정말 열심히 하지 않으면, 가뜩이나 수학 과목 학점도 그렇게 잘 주는 편도 아니고, 기본이라는 선형대수학 A 받는 것도 정말 만만치 않습니다.
경제학부 학부 전공과목을 공부하는데 필요한 내용은 경제수학에 사실 거의 다 들어 있습니다. 학부 계량경제학 수강을 위해서, 또는 그냥 폼나니까(?) 선형대수학 듣기 시작하는 것은 좋지 않고, 또 위험합니다. 적어도 정신 바짝 차리고 새로운 세계로 들어갈 준비를 하시기 바랍니다. (선형대수학을 들으면 학부 계량 수강에 물론 도움이 되기는 합니다. 하지만 선형대수학이 계량을 위한 과목이 아니기 때문에 계량에서 사용하는 선형대수학 내용을 선형대수학 교과과정이 완전히 커버하지는 못합니다)
또한가지는 경제학을 공부하는데 있어서 수학을 어떻게 공부할 것인가 하는 문제인데.... 경제학 공부하다가 수학이 나오면 무조건 관련 과목을 수강하면 되느냐... 절대 그렇지 않습니다. 경제학에서 안 쓰는 수학 과목은 아마도... 없을 겁니다. 그렇다면 그렇게 공부한다면 수학 복수전공을 해야만 할 것입니다. (-_-;)
공부하는 자신의 시간은 제약되어 있고 제약된 시간 내에서 최고의 효율을 올리려면 수학 과목들 중에서 경제학과 밀접한 과목들만 골라 들어야 합니다. 그래서 제일 중요한 과목이 선형대수학과 advanced calculus이면서 경제학의 논리를 느끼게 해주는 해석개론입니다. 그 과목들에 집중해서 듣는 것이 제일 좋습니다. 동시에 해석개론1 정도를 듣는 것은 본인이 수학에 얼마나 적성이 있는지 판단하게 해 줍니다. 해석개론1에서 처참하게 박살난다면 그 때는 경제학을 공부한다 하더라도 수학을 많이 사용하는 분야로 나가기는 힘듭니다. (물론 본인이 공부를 잘못된 방법으로 했을수도 있습니다. 그런 경우는 제외) 해석개론1을 해 볼 만 했다면 계량, 이론미시, 금융 등 수학을 많이 사용하는 과목으로 나갈 수 있을 것입니다. 그 다음부터는 본인이 좋아하는 과목 들으면 되겠습니다. 역시나 해석 줄기인 실변수함수론과 실해석학이 중요하고, 위상수학개론, 그리고 통계학과의 확률론과 수리통계 등등이 있죠.
얼마 전에 함수해석학까지 들을 수 있다는 리플도 있었는데.... 서울대에서 박사과정까지 다 마치는 경우 제외하고, 함수해석까지 수강한 분이 있기는 있나요?? (-_-;;;;;)
하나 더 덧붙이자면 수학 과목을 들으면서 해석을 넘어 실변수함수론이나 위상 정도 들어갈 무렵, 나 자신이 수학을 향하고 있는지 경제학을 향하고 있는지 조심스럽게 생각해 볼 필요가 있습니다. 수학의 논리성이 경제학에서 사용될 수는 있지만 경제학은 수학이 아닙니다. 즉 경제학을 다루면서 완전히 수학을 다루듯 할 수는 없다는 것입니다. 보통 수학을 공부하다가 경제학을 공부하는 사람들은 둘 사이에 중점을 취할 수 있는데 경제학을 공부하다 수학을 맛들인 사람들은 한 쪽으로 확 치우치기 쉽습니다. 본인이 정말 수학이 좋다면 그때부터 수학을 복수전공 하고 수학과 대학원 노리면 되는 것이고, 그렇지 않으면 지나치게 수학으로 매몰되지 않고 자신을 유지할 필요가 있습니다.
수학과목 말고도 대학원 과목을 학부 때 미리 들어두는 것도 좋고, 할 일이 참 많습니다. -_-;;;
그리고 05학번 이하 미적분을 모르는 경제학부 신입생들 분께서는, 경제학 학사 학위를 무난히 받으시려면 어떻게 해서든 미적분에 대한 공부는 하시기 바랍니다. (즉, 법대나 다른 과로 전과 생각하신다면 미적분 공부할 필요 없다는 얘기입니다.)
그런데 보통 자습으로 하면 공부가 잘 안되니까, 경제수학을 어떻게 해서든 수강을 하시기 바랍니다. 경제수학도 교수님들마다 난이도 차이가 있고 공부를 더 많이 하고 싶으신 분은 제일 어려운 수업을 들으면 되지만... 하튼 경제학 공부하다 보면 기본적인 미적분은 필수입니다. 고시를 보든, 뭘 하든 말이죠.
그래서 정리하면.....
# 경제학으로 밥 먹고 살 생각은 없다.. 하지만 계량경제학을 비롯한 경제학 학부 과목들은 충실히 공부하고 싶다.
=> 수학 과목 따로 수강할 필요 없습니다. 경제수학 부분만 열심히 공부하세요.
# 아직 진로는 못 정했지만 경제학이 재미는 있다... 따라서 대학원 공부를 하면서 결정하고 싶다.
=> 경제수학 공부. 선대 수강. 여기에 해석학에 대한 최소한의 지식이 필요합니다. 최소한 단학기 해석개론 정도는 수강해야 하고, 해석 통년수업의 첫학기. 해석1 수강을 하면 좋습니다.
# 유학 지망생. 공부로 밥먹고 살거다.
=> 최소사양 : 선형대수학, 해석개론1 (최선을 다해 A 만드세요)
=> 권장사양 : 선형대수학, 해석개론1, 해석개론2, 미적1-미적2, 실변수함수론 or 위상수학개론1
(실해석까지 끝내실 분들은 굳이 미적을 듣지 않아도 되겠군요. 세부전공 선택에 따라 실변수함수론이나 위상은 필수과목 급이 될 수도 있습니다.
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수학 각론에 대해서 좀 생각을 얘기해 보겠습니다. 어제 글에서도 말씀드렸지만 수학에 대한 생각은 교수님들께서도 저마다 다르니까.... 다양한 의견 제시는 환영이지만 지나친 태클은 사양하겠습니다.
제가 들어본 과목들 및 제가 중요하다고 생각하는 과목 위주로 말씀드리겠습니다. 저는 상대적으로 수학을 많이 듣는 게 좋다고 생각하는 편이지만 경제학을 공부할 것이면서 수학 또는 통계학을 복수전공하는 것은 시간낭비라고 생각하기 때문에.... 현대대수학과 미분기하학에 대한 내용은 생략하겠습니다. 잘 알지도 못할 뿐더러 어떻게 쓰이는지도 잘 모르겠습니다. 개인적으로 현대대수학이 경제학부 전선인정 된다는 것이 조금은 놀라운 일이라는......
1. 선형대수학
타과생용 선형대수학이 있고 수학과 학생들 대상으로 하는 선형대수학1, 선형대수학2 가 있습니다. 저는 선형대수학 2의 내용이 만만치 않게 어렵고 선형대수학1 의 수준도 높기 때문에, 타과생용 선형대수학을 수강하면 충분하다고 봅니다. 타과생용 선형대수학은 1학기, 2학기, 계절에 모두 개설되는데 계절에 수업을 듣기는 상당히 어렵습니다. 처음 듣는 분들은 꼭 초반에 예습을 잘 하시기 바랍니다.
주 내용은 다변수 벡터 공간에 대한 이론적, 계산적 모든 내용을 배운다고 보면 됩니다. Friedberg 책의 경우 앞부분에 이론적인 내용이 몰려 있고 계산적인 내용이 뒤에 있어서 1장과 2장이 상당히 어렵게 느껴진다는 특징이 있습니다. 공부하면서 내용 하나하나도 중요하지만, 역행렬과 transpose와 같은 간단한 계산에 익숙해지는 것이 계량 공부하는 데는 큰 도움이 됩니다.
선형대수학의 수강 목적은 우선 경제수학 및 계량경제학을 중심으로 여러 경제학 과목들... 다변수를 다루는 모든 과목에 이용되기 때문입니다. 그러나 학부 과목에서 필요한 수준의 선형대수학은 경제수학에서 충분히 배우므로 굳이 선형대수학을 들을 필요는 없고... 정말 중요한 것은 선형대수학에서 수학적 논리성을 어느 정도 겪어본다는 것입니다. 여러 내용들의 증명을 읽고 직접 증명을 해 보는 것에 어느 정도 익숙해 져야 해석개론을 비롯한 다음 과정으로 나아갈 수 있는데, 그런 증명을 해 볼 과목이 마땅치 않습니다. 미적분학은 완전 계산 위주이고, 선형대수학이 제일 적합한 과목이라고 생각합니다.
Friedberg 책이 제일 좋습니다. 요즘 타과생용 선형대수학에서 응용 중심의 다른 책을 사용한다는 얘기를 들었는데 수학적 증명도 충분히 해 볼 수 있는 책이 좋습니다. 응용 중심의 책을 공부하면 해석 공부하는데 필요한 부분에 있어서 남는 게 없기 때문에....
선수 과목 : 없다.... 선수과목이 없다는 것이야말로 선형대수학으로 수학 공부를 시작하는 것이 적절하다는 이유 되겠습니다.
시너지가 있는 과목 : 경제수학.... 따라서 2학년 2학기에 경제수학과 선형대수학을 같이 듣는게 최적입니다. BUT.. 2학년 2학기에 거시-경수-선대-경통을 다 듣는 것은 결코 쉽지는 않은 일이고, 요즘 경제통계학 내용이 갈수록 어려워져서... (황윤재 교수님도 매우 어렵고 김재영 교수님 경제통계학도 예전보다는 많이 어려워졌죠. 요즘 경통을 2학년 1학기에 듣는 것은 거의 불가능에 가까워진 것 같습니다.)
즉 유학가려고 마음먹으신 2학년 분들은
미시-경제사-경수OR 경통 => 거시-선대-경수OR 경통 이런 방법이나,
미시-경제사 -> 경수-선대-거시-경통 이런 방법을 생각해 볼 수 있을텐데,
본인의 능력은 본인이 잘 아실테니;;; 능력껏 공부하시라는 말밖에 할 수가 없군요. 항상 공부할 때 학점이 낮아지기 시작하면 너무 무리하지 않는 것이 좋습니다.
선대를 들으면 더 잘 들을 수 있는 과목 : 계량경제학을 비롯한 다변수를 이용한 모든 과목, 미적2, 미분방정식..... 그리고 해석개론1.(내용에서는 겹치지 않지만 증명과 논리성을 선대를 들으면서 좀 굴려볼 수 있기 때문에...)
선형대수학은 그 어떤 과목도 선대를 필수로 요구하지는 않지만(경제학부의 경제수학으로 웬만큼 대신할 수 있기 때문이죠) 아주 많은 과목에서 꾸준히 이용되는 과목입니다.
공부하기로 늦게라도 결정하신 분들은 꼭 수강하시기 바랍니다.
2. 해석개론1
해석개론은 해석개론1, 해석개론2, 그리고 단학기로 개설되는 해석개론 과목 이렇게 세 가지가 있습니다. 그런데 세 과목 모두 참 다르기 때문에;;;; 별도로 이야기하려 합니다.
해석개론의 내용은 역시 수학의 경제 원론이라는 표현이 제일 적절합니다. 단순히 내용 상으로는 연속, 극한, 미분, 적분 등 미적분학의 내용이 절반을 차지하고 함수의 정의역이 되는 집합, 공간에 대한 개념이 그 반의 반, 그리고 앞부분에서 배우는 수열에 대한 깊은 이해 및 유리수나 다른 수체계와는 다른 실수의 성질에 대한 내용이 나머지를 차지합니다.
그러면 미적분학만 배우면 되지 왜 해석개론을 배우느냐... 우선은 함수를 다루는 데 있어서, 함수의 특징 뿐만이 아니라 정의역이 되는 집합의 특징도 상당히 중요합니다. 이를테면 일반적인 효용극대화 문제에서 해가 존재하려면, 효용함수가 연속이라는 것이 중요한 전제조건이지만, 동시에 예산집합이 compact set이라는 것도 아주 중요한 조건입니다. 즉 함수의 내용과 집합의 내용 둘 다 필요한 것이죠....
또한 동시에 해석개론의 접근 방법은 수학의 엄밀함을 그대로 보여줍니다. 일일이 하나하나 공리를 세우고 정의를 내린 뒤 그것을 바탕으로 엄밀하게 증명을 해 가며 체계를 세워 나갑니다. 경제학에서 필요로 하는 논리적 사고를 튼튼하게 세워 주죠. 수학의 필요성을 두가지로 나누면, 논리적인 면, 해의 존재성에 대한 부분과, 계산적인 면, 구체적으로 해가 무엇인지에 대한 부분으로 나눌 수가 있는데 경제학에서는 세부 분야에 따라 다르지만 두 가지를 다 필요로 합니다. (반면 공대에서는 계산 쪽에 치우쳐 있고, 수학 과목은 논리적인 면에 치우쳐 있죠. 공대에서 미분방정식, 편미분방정식, 복소함수론을 세트로 배우는 게 그 때문입니다. 경제학부에서는 그다지 필요가 없습니다.)
결국 경제학부생이 해석개론을 듣는 목적은 내용적인 측면과 논리적 체계를 배우는 측면 모두 있다고 할 수 있습니다. 동시에 실변수함수론, 위상수학과 같은 상급과목을 듣기 위해서도 해석개론은 반드시 필요합니다. 아마 학부 과목에서 해석개론을 필요로 하지는 않을 것입니다. 하지만 대학원 전필 과목에서는 전반적으로 해석개론의 기본적인 개념들.. open set, closed set, compact set, continuous.. (함수의 연속성이 어떤 것인지는 해석개론을 듣다 보면 보다 명확히 알게 됩니다.)이 골고루 쓰입니다. 유학 생각하든 그렇지 않든 대학원 들어오실 생각이라면 우선 해석개론을 어느 정도는 공부하는 것이 좋다는 것은 이 때문입니다.
해석개론1은 늘 1학기에 개설됩니다. 해석개론 2는 늘 2학기에 개설됩니다. 해석개론1은 수학과 전필과목입니다. 보통 교수님께서 진행하는 강의가 듣는 사람들은 빡센 사람들이 더 많은 대신에 보통은 강사님들보다 더 나은 강의를 기대할 수 있다는 장점이 있습니다. 어느 강좌를 고를 것인지는 그때그때 생각하시고... 책은 어느 책을 선택하든지, 해석개론1의 내용은 엇비슷하고, 해석개론 2의 내용은 책에 따라 좀 많이 다릅니다. 저는 Marsden의 elementary classical analysis를 강력추천합니다. 수학 책은 내용이 같을 때, 두껍고 커다란 책일 수록 좋습니다. 설명이 친절하고 그림과 예시가 많다는 뜻이니까요. marsden이 꼭 그런 책입니다. 아마 상당수의 강의는 한글 계승혁 교수님 책으로 나갈 텐데 이 책은 책 한 자 한 자를 경전 읽듯이 그 뜻을 새겨가면서 읽어야 하는, 매우 만만치 않은 책입니다.
선수 과목 : 미적 1을 들으면 해석개론에 해당하는 내용을 미리 익힐 수 있어 도움이 되지만 꼭 듣지 않아도 해석1은 들을 만 합니다. 미적 1 한번 훑어 읽으시면 좋구요. 오히려 더 필요한 과목은 선형대수학입니다. 기본적인 증명에 대한 훈련이 되어 있지 않으면 새로운 세계에서 길잃고 방황만 하다가 성적표에 지울수 없는 상처만 남기기 십상인 과목입니다. 오히려 미적1과는 크지는 않지만 어느 정도의 시너지를 기대할 수 있을 것입니다. 조금.. 시너지가 있습니다.
저는 3학년 때 해석개론을 들으면 좋다고 생각하지만 정말 쉽지 않은 일입니다. -_- 해석개론을 미리 듣고 대충 자신의 실력 파악한 다음에 내년에 재수강을 하든 아니면 더 어려운 과목을 듣든 하는 것이 가능하다고 생각하기 때문입니다. 단 해석개론1은 숙제가 매우 많은 과목이고, 동시에 수학의 본격적인 첫발을 내딛는 과목이어서 아주 적응하기 힘들 것입니다.
그래서 해석개론 수강할 때는, 최소한 같이 듣는 사람 여러 명이서 함께 공부하면서 숙제 함께 하시고, 더 나아가서는 겨울방학 중에 미리 스터디를 할 것을 권합니다. 단순히 해석 책 솔루션만 구해서는 실력이 늘지 않으니 서로 얘기하고 물어가면서 실력을 키우고, 동시에 서로의 문제점을 서로 수정할 수 있어야 합니다. 맘 같아서는 SFERS에서 매해 해석개론 스터디 정도는 론칭을 하고 싶은데... -_-;;;;;
덧붙이자면, 모든 수학 과목의 규모의 경제는 실로 엄청납니다. 혼자 끙끙거리지 말고 무조건 사람 모아서 같이 들으세요. 주위에 없으면 동아리나 다른 길도 찾아 보고, 아니면 경제학부 게시판에 글을 올려도 좋구요. (게시판에 글 올린 인연으로 만난 선배가 있는데 실력 아주 대단하시다는^^) 아니면 출석 부를 때 순서 보고 경제학부세요?? 하고 말 걸어도 되구요. 쪽팔리다가 학점 나가리 나는 수가 있으니;;;; 협력하시기 바랍니다. -_- 해석개론1은 정말정말 중요한 과목입니다.
3. 단학기 해석개론
단학기 해석개론은 매 학기에 1강좌씩 개설이 됩니다. 주로 강사님이나 은퇴하신 명예교수님들께서 주로 강의를 맡습니다. 해석개론1-2는 보통 수학과의 강의실력 에이스인 교수님들께서 주로 강의를 맡는데 말이죠. (최근 강현배 교수님, 계승혁 교수님, 이우영 교수님 모두 다 강의 잘 하신다고 하죠) 단학기 해석개론의 경우 윤재한 교수님께서 꾸준히 맡으시면서 좋은 강의로 알려져 있었는데 요즘에는 어떤지 모르겠군요. 최악인 학기도 한 번 있었다고 하고. 괜찮았다고도 하고.
단학기 해석개론은 해석개론 1년 동안 공부할 것을 속성으로 배운다고 생각하면 됩니다. 그래서 문제는 충분한 증명과 논리성에 대한 경험을 해 볼 수가 없다는 것. 하지만 경제학에서 필요한 기본적인 집합과 공간에 대한 개념들은 빨리 익힐 수가 있다는 것. 그런 장단점이 있습니다. 일단 대학원에 관심이 있는 학부생 분들께 아주 괜찮은 수업이 되지 않을까 저는 생각합니다. (저는 단학기는 들은 적이 없습니다.) 다만 가르치시는 교수님께서 난감할 수 있죠.
하지만 더 큰 문제는 많은 내용을 강의하다 보니 내용에 대한 선수지식.. 특히 미적분에 대한 선수지식이 없으면 따라가기에 벅찰 정도로 양이 많아질 수 있다는 것입니다. 따라서, 단학기 해석으로 때울 생각을 하고 있다면 미적분학 1-2를 좀 더 철저히 자습하거나 수강하는 것이 더 좋습니다. 그래도 해석개론1을 직접 듣는 것보다는 부담이 덜하겠지만 말이죠. 숙제도 더 적을 거고 같이 듣는 사람들도 수학과 전공생이 아닌 타과생일 거구요. 교재는 Protter의 책을 쓰는 것 같던데 두꺼운 책 얇은 책 두 가지 모두 틈틈이 사용하는 것 같더군요.
4. 해석개론2
해석개론2는 2학기에 늘 개설됩니다. 해석개론2는 또한 수학과 전필과목이 아닙니다. 그런데도 강좌는 3개여서 20명 내외의 소규모 수업이 되기도 하지요..... 수학과 전필이 아니라는 것은 중요한데, 즉 이제부터는 수학과 학생들 전체가 아닌, 수학과 학생들 상위 몇 % 이런 식으로 갈수록 뛰어난 사람들만 남는다는 얘기입니다. 그래서 수학과목을 듣다 보면 체감 난이고, 해야할 숙제의 양, 그리고 학점을 받기 어려워지는 정도가 모두 상승하는 것을 느끼실 수 있을 겁니다. 항상 수학 과목 들을 떄는, 학점 나쁘게 나온 것을 선수 과목 잘 받아서 메꾸겠다는 생각을 쉽게 해서는 안 됩니다. 불가능은 아니지만 정말 간단하지가 않습니다. 자신이 정말 운이 없어서 그랬다면 몰라도 실력이 부족하다면 한 단계 업그레이드 된 과목에서도 밀리기 십상이니까요.
해석개론2는 조금 어중간한 과목인게 책 마다 내용이 다릅니다. marsden을 비롯한 여러 책들은 함수열과 함수공간을 앞에서 배운 뒤 2에서는 다변수 미적분학과 기초적인 적분론에 대해서 배웁니다. 계승혁 교수님 책의 경우 다변수 미적분학을 전혀 다루지 않고 함수열, 함수공간을 자세하게 배웁니다. 심지어는 르벡적분까지 다루는 만행(?)을 저지르기도 하지요. 이 중에서 함수열과 함수공간에 대한 내용은 더 높은 과목으로 올라가기 위한 아주 중요한 내용입니다. 또한 푸리에 급수에 대해서 어느 정도 배우게 됩니다. 푸리에 급수는 계량경제학에서는 상당히 중요하게 다루는 내용입니다만... 결국 르벡적분을 배워야 좀 제대로 이해할 수가 있으니 알쏭달쏭하군요.
개인적으로는 다변수 미적분에 대해서 그렇게 입실론 델타 써가면서 배울 필요가 있나... 싶기 때문에 함수열에 대해서 보다 더 잘 배우는 게 낫지 않나 싶습니다. 게다가 리만 적분론의 경우는 결국 르벡 적분론을 배우고 나면 크게 의미가 없어지기 떄문에... 하지만 결국 어떤 경우든, 실변수함수론으로 올라가는 길목에 있게 됩니다.
선수과목은 권장사양 해석개론1, 최소사양 단학기 해석개론 되겠습니다. 해석개론2에서 다변수 미적분을 다루는 경우 미적2를 공부하는 것이 직접적으로 큰 도움이 됩니다. 시너지도 상당하구요.
조금 한마디를 더 붙이자면 이상의 수학 과목들은 기초적인 과목들이기 때문에, 일단 강의를 정했으면 교수님이 어떻든 간에 웬만하면 무조건 들어야 합니다. 어짜피 들어야 할 과목인데 한 번 교수님 맘에 안 든다는 핑계로 빼버리면 한 학기에서 많게는 1년까지 뒤쳐집니다. 우선 잘 정해야 하고, 만약 그 해에 교수님들이 잘 맞지 않으면 그냥 그걸 감수하고 듣는 수밖에 없습니다. 참고로 제 친구는 해석개론 1을 교수님 맘에 들지 않는다고 안 들었다가, 다음 학기에 단 학기 해석개론을 듣고 어쩔 수 없이 바로 실변수함수론을 들어버리더군요-_-;;;;;; 보통 수학과에서 말하는 커다란 한 단계를 한번에 세 개를 건너뛴 셈입니다. 웬만해서는 불가능한 일이니;;;;
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5. 실변수함수론 및 대학원 실해석학
실해석학 real analysis라는 과목이 대학원에 있고 이 과목은 거의 늘 Rudin의 real and complex analysis의 앞부분 real analysis를 끝내는 것을 목표로 합니다. 2학기에는 이 책의 뒷부분을 복소함수론 대학원 수업에서 마무리하게 됩니다. 실변수함수론은 대학원 실해석과 해석개론의 한 가운데에 있는 수업입니다. 두 과목의 수준차를 둘 사이에서 보정해 주는 역할을 합니다. 다르게 말하면 명확한 커리큘럼이 없다는 것인데, 교수님에 따라서 아주 쉽게 강의하기도 하고 거의 대학원 해석학에 맞먹게 빡세게 나가기도 합니다. (계승혁 교수님의 경우)
실변수함수론, 대학원 실해석 모두 1학기에만 개설되고 있습니다.
실변수함수론이 다른 이름으로 적분론, 측도론 등으로 불리는데 이는 주 핵심 내용이 추상적분 및 추상측도이기 때문입니다. 실해석학에서 추상적분 및 추상측도를 중심으로 시작하여 측도의 존재성을 이야기한 뒤 르벡적분에 대한 내용을 간단하게 다루는 데 반해 '보통' 실변수함수론에서는 르벡측도 및 르벡적분에 대해서 충분히 다룬 후에 추상측도 및 추상적분을 간단하게 다루게 됩니다. 그 외에 힐버트 공간, 바나하 공간 등 함수공간에 대한 내용을 보다 심화시켜서 다루게 되고, 푸리에 급수 및 푸리에 변환, 라돈-니코딤 정리(금융 하시는 분들은 기본적으로 사용한다는 정리인데... 어떻게 사용하는지는 아직 저도 잘 모릅니다), 곱측도와 푸비니 정리... 등등의 내용을 배웁니다. 대학원 실해석에서는 이상의 내용을 모두 다루게 되며, 학부 실변수함수론에서는 르벡적분/르벡측도에 대한 내용으로 거의 절반 이상을 진행하며 나머지 시간에 위 내용들을 선택적으로 나가게 될 것입니다.
실변수함수론이 아주 중요한 과목이 되는 이유는 적분과 측도에 대한 이해를 만들어 주는 과목이 실변수함수론이기 때문입니다. 적분 하면 expectation.. '기대값'이구요. 결국 계량 및 금융에서 이용하는 확률론으로 들어가는 기초 과목이 됩니다. 개인적으로 계량이나 금융 전공하실 분들은 학부 실변수함수론 정도는 수강하시고 측도(measure)가 뭔지 정도는 알아두셔야 한다고 생각합니다. 미시이론과 거시이론에서 구체적으로 어떻게 이용되는지는 아직 잘 모르겠습니다만... 동적 최적화와 최적함수의 존재성 등을 이야기하려면, 동시에 확률적 모형을 생각하려면 이 내용이 필요하지 않을까 싶습니다.
그리고 현실적으로는 김재영 교수님, 황윤재 교수님 대학원 제통계학연구 내용 앞부분의 확률론, 그리고 뒷부분의 점근이론 부분을 이해하는 데 실변수 함수론은 상당한 도움이 됩니다. 대학원 1학년 때 시간이 조금 남으면 실변수 함수론을 앞부분 만이라도 청강한다면, 전필과목의 짐을 어느 정도 덜어줄 것입니다.
rudin 책과 계승혁 교수님 실해석 책은 내용이 엇비슷하고 둘 다 상당히 어렵고 얍축적입니다. royden 책은 설명이 친절한 대신 뒷부분에서는 다른 수학 용어들을 사용하다 보니 보통 해석학 줄기만 잡고 올라가는 경제학부 학생들에게는 조금 난감한 부분이 있습니다. royden 책의 1장 ~ 6장, 그리고 11장과 12장은 기본적인 측도론을 이해하기에 아주 좋은 내용이라고 생각됩니다. 다른 부분들은 조금 어렵습니다. rudin 책의 또 하나 단점중의 하나가 위상수학에서 쓰는 내용을 상당히 사용한다는 점입니다. 그래서 지나치게 추상적인 내용부터 시작합니다. Folland 책의 경우 추상측도부터 다루고 있지만 위상수학 내용들은 중간부터 나오기 때문에 책의 구조 자체는 Folland책이 가장 좋다고 느껴집니다. 다만 제가 이 책을 깊이 읽지 않아서 구체적인 책의 느낌은 잘 모르겠군요. (책 제목은 모두 real analisys입니다.)
실변수함수론의 경우 해석개론 1,2 모두 다 듣고 가는 것이 좋지만 해석개론1만 듣고 들어도 상관없고 이 경우 해석2에 있는 함수열 및 함수공간에 대한 내용은 자습해야 합니다. 실해석학은 실변수함수론까지 듣고 들으면 좋지만 해석개론 1,2만 들어도 수강할 수는 있습니다. 실변수함수론을 어느 정도 예습하면 도움이 되지요. 실해석학은 오히려 위상수학개론에 대한 예습이 정말 필수입니다. 수강을 할 필요까지는 없는데, 위상에 대한 내용이 초반에 나오기 때문에 예습을 안 하고 가면 상당히 막막할 것입니다.
실변수함수론 들을 경우 실해석학으로 나갈 수 있습니다. 동시에 확률론의 수강에 상당한 도움이 됩니다. 통계학과 대학원의 확률론은 우리가 접하는 수리통계 계열의 통계학보다 해석학에 훨씬 가까운 과목인데, 이 과목을 들으려면 미리 실변수함수론을 듣거나, 혹은 실변수함수론과 동시에 들어도 큰 문제는 없습니다. 실해석학을 들으면 함수해석학 1,2를 들을 수 있습니다만.... 예전부터 궁금한 것이 과연 이것까지 다 듣고 유학을 나가시는 분이 과연 있는지 모르겠군요. 보통의 경우 실변수함수론 또는 실해석학이 유학 나가기 전에 들을 수 있는 수학 과목의 한계일 것입니다.
6. 함수해석학 1,2
해석학에 대한 내용을 완료하도록 하죠... 그전까지는 그런대로 재미를 붙였든 아니면 의무감에든 수학을 들으셨던 분이라도 실해석에서 충분히 고생하셨을 거고... (대학원 과목 B 받으면 그 타격이 상당하죠. 수학 과목은 뭐를 듣든 일단 B를 남기면 좋지 않다고 보면 됩니다. 특히선대와 해석1) 함수해석까지 듣게 되려면 정말 수학을 좋아하고 시간도 아주 충분한 경우여야 하기 때문에 거의 불가능할 것입니다.
배우는 내용은 실해석학에서 배운 바나하 공간, 힐버트 공간에 대한 내용의 확장 버전이라고 생각하시면 됩니다. 동적 적화 및 고급의 통계학에서 이용한다고 합니다. 저도 아직 들어본 적이 없고.... 책은 주로 conway 책을 쓰는데 실해석학 공부하시다 보면 가끔 이 책을 찾아보게 될 것입니다.
7. 미적분학 1,2 (수학 및 연습 1,2)
저는 수학 및 연습 1을 수강하려고 수 차례 시도했지만 그 때마다 귀찮음을 필두로 한 각종 사정이 생겨서 결국 지금까지 듣지 못했습니다. channy 님 말도 굳이 미적분학 들을 필요는 없다.... 였기 때문이기도 합니다.
수학 및 연습1은 1학기에 수십 개 강의가 개설되고 계절에 10개 이상, 그리고 2학기에 한 개가 개설됩니다. 수학 및 연습2는 2학기에 수십개, 계절에 4-5개, 1학기에 한 개가 개설됩니다. 강의 난이도는 비슷한데 듣는 사람들의 수준이 계절이 제일 높고, 수십 개 강의 중의 하나를 듣는 것이 제일 낮습니다. 그 밖에 고급수학 및 연습 1,2 라는 강의가 있는데 강의는 괜찮지만 문과생의 수강이 불가능하고, 기초수학, 인문사회계를 위한 수학, 인문사회계를 위한 수학1, 인문사회계를 위한 수학2가 모두 미적분학에 해당되는 과목입니다.
강의의 내용은 각 강의마다 조금씩 모두 다릅니다. 미적분학 하면 보통은 1학기에 1변수 미적분, 2학기에 다변수 미적분을 다루는데, 예전까지 1변수 미적분의 상당 내용이 고교 교과과정에 포함되었기 때문에 수학 및 연습의 경우 1학기에는 수열 및 급수에 대한 내용, 선형대수 기본, 등등의 내용을 배우고 2학기에 다변수 미적분 및 벡터장의 내용을 배우게 됩니다.
경제학에서는 미적분에 대한 기본 내용은 정말 소중하게 필요합니다. 그리고 다변수 미적분에 대한 내용도 중요하고(그래서 대부분의 경제수학 강의에서 다변수 미적분을 중요하게 다룹니다.)... 그래서 미적분학 수강이 필요한가.... 그건 좀 다르다고 생각합니다. 어짜피 미적분학의 주요 내용은 경제수학에서 상당히 커버하게 됩니다. 또한 수학 및 연습 1,2에서는 곡선 및 벡터장에 대한 내용을 상당히 많이 배우는데 이거 경제학에서 직접적으로 쓰일 일이 많지 않습니다. 또 수학 및 연습 1,2에서 사용하는 김홍종 교수님의 미적분학 책이 좀 깔끔하지가 못합니다.
그럼에도 수학 및 연습 1,2를 수강하는 것이 괜찮은 이유는 우선 충분한 계산 경험을 할 수 있다는 것입니다. 해석과는 달리 미적분학 시험은 다양한 계산 테크닉에서 결정이 납니다. (그래서 미적을 들어도 해석에 큰 도움은 안 되는 것입니다) 계산적인 측면에서 말려서 논문에 지장이 오는 경우도 많고, 여하는 계산적인 면도 중요하기 떄문에 미적분학에서 충분히 연습이 가능하다는 것... 그리고 또 한가지는, 미적분학 수강기록이 중요하기 때문입니다. 설령 미시경제학 연구를 들었어도 학부 미시경제이론 안 들었으면 조금 뒤가 찝찝한 것과 마찬가지로 미적분학 안 들으면 뭐가 좀 그렇습니다. 듣기로는 Top10 정도면 몰라도 그 아래로는, 단순히 해석개론 1,2만 들어서는 미적분학의 빈 자리가 좀 크게 보인다고 합니다. 결론적으로 실해석까지 뺄 자신이 있거나 무조건 top 10 갈 자신있다... 하시는 분들은 미적분학 안 들어도 되겠지만...;;;;;
책은 개인적으로는 다변수 미적에 대한 책인 marsden, tromba의 vector calculus를 추천합니다. 고급수학 교재로도 쓰이는데...공부하다가 막히는 부분이 있다면 다변수 부분일 것이기 떄문에, 한 권 갖고 있으면 괜찮은 책이라고 생각합니다. 수학 및 연습 1,2의 맨 끝 강의는 영어강의로 진행되는데 이 강의에서는 Thomas calculus를 사용하고 일변수 미적까지 모두 다룬 책 중에서는 상당히 많이 이용되는 책입니다.
그리고 인문사회계를 위한 수학은 경영대용 수업이고(내용은 경수랑 좀 비슷하다는 데 저도 정확히는 모릅니다.) 인문사회계를 위한 수학1과 인문사회계를 위한 수학 2는 경제학부생 등을 상당히 배려한 수업으로 진행되는데 일변수 미적-다변수 미적을 교양을위한 대학수학 1-2권으로 진행합니다. 일이 있어서 이 책을 보았는데 미적분에 대한 기반이 없는 경제학부 후배 분들에게 거의 최상의 책이라고 느껴졌습니다. 경제수학 수업은 적분에 대한 얘기가 너무 부족하죠. 경제통계학은 적분이 핵심인데... 이 책은 미적분학 전반을 충분히 다루면서 경제학에서 거의 쓰지 않는 부분은 삼각함수-복소수 내용 외에 거의 없어서, 아주 괜찮아 보였습니다.
기초수학 수업도 그런대로 괜찮은 수업인데 이 인사수 수업이 기초수학을 능가하는 것 같더군요.
선수 과목은 고교이과 수2... 내용을 좀 듣고 가야 안전합니다. 영어강의 미적분이나 인문사회계 수학은 선수과목이 없습니다. 시너지는 경제수학과 수학및 연습2의 시너지가 좋을 것입니다. 계산은 늘 고학년 올라와서 익히려고 하면 짜증납니다. 일찍 공부하기로 마음먹었다면 2학년, 그렇지 않다면 3학년에 듣는 것이 좋다고 생각합니다.
8. 미분방정식 및 편미분방정식
미분방정식은 미적분학을 능가하는 계산 지향적 수업입니다. 2학기에는 미분방정식 및 연습이 개설되고 미분방정식 타과생용은 1-2학기, 계절학기에 늘 있습니다. 이 과목의 경우는 수학과 자연대 분들이나 공대 분들이나 큰 차이가 없지만... 그래도 그냥 미분방정식이 조금 낫지 않을까 싶습니다. 보통 미방 들을 즈음 되면 21학점 채워 듣는 분들이 많을 텐데 4학점짜리 한 과목은 달고 다니기 불편하기도 하고....
내용은 말 그대로 미분방정식.. 근데 미분방정식 푸는 방법 못지 않게 풀지 못하는 미분방정식이 많다는 것도 배웁니다. 결국 계산이 정말 중요한데, 이과생, 공대생들에 비해 삼각함수 등에서 밀리기 때문에, 우리는 중요한 삼각함수 공식 몇 개는 꼭 외워가야 합니다. 하지만 문과생이 절대적으로 밀리는 과목은 아닙니다. 너무 겁낼 필요는 없다는...
아마 더 이상 수학 과목도 경제학 과목도 충분히 들어서 별로 들을 것이 없는 학부생 분들이 듣게 될 것입니다. 특히 미분방정식은 계절학기에도 있어서 학점 채우기 좋죠. 선형대수학의 경우 계절학기에 들을 경우 내용도 빠르고 따라가기 힘든데 미방은 순 계산이라 시간투입만 더하면 계절에 들어도 크게 난이도 차이는 없습니다. 경제학에는 경제성장론을 비롯한 여러 동학에서 쓰이게 됩니다. 미적분학도 그렇지만 미분방정식 이야말로 시험 볼 때 공식 외우고, 시험 끝나면 까먹고, 공부할 때 필요하면 그 때 다시 찾아보고...그런 수업인데 제 경우는 미분방정식 수업 들은 이후 별로 쓴 일이 없어서 내용을 거의 기억하지 못하고 있습니다. -_-;;;; 나중에 다시 찾아볼 일이 생길텐데 좀 걱정이라는.
미분방정식의 특징적인 점은 몇몇 교수님의 경우 계산이 아닌 증명 방향으로 강의를 하거나, 아니면 일부 편미방까지 섭렵하도록 아주 빡세게 강의를 나간다는 점입니다. 이 경우에는 준비를 단단히 해야 하니 수강신청 전에 미리 강의계획서를 확인하기 바랍니다. 책 3장까지 나가는 경우가 일반적입니다. 물론.. 교수님께서 처음에는 6장까지 나가고 싶었지만 결국 3장밖에 못 나가는 경우도 많지만 말입니다.
선수과목은 미적분학이 아니라 선형대수학입니다. 미적분학은 미적분이 뭔지만 알면 되고... 수학 및 연습을 안 들어도 큰 문제는 없습니다. 어짜피 공식 외우는 건 미적분학 수업 들었든 안 들었든 거의 같으니까요. 미방 3장 쯤에서 선형대수학의 내용을 상당히 많이 사용하므로, 미리 수강한 경우에만 들을 수 있을 것입니다.
미분방정식 들은 후에 편미분방정식을 수강할 수 있는데 여기서 넘어가는 discrete jump는 그 폭이 엄청납니다. 해석학을 비롯한 상당히 다양한 수학을 사용하여 따라가기가 상당히 어렵습니다. 금융에서 주로 사용하는데 편미분방정식 수업의 경우 경제학에서 쓸 일이 없는 내용이 워낙 많아서 굳이 수업을 들을 필요는 없다는 의견이 대다수였습니다.
9. 위상수학
위상수학개론 1,2로 개설되고 개설학기는 자주 변동된 끝에 최근에는 1학기에 1, 2학기에 2가 개설되었습니다. 위상수학의 내용은 해석학에서 시작된 일반화의 확장 버전으로 더욱 일반화시킨... 예를 들어 설명할 수가 없고 머리속에서 잘 그려지지도 않는.. 그런 내용들을 배웁니다. open set의 개념이 확장되어 그걸 토대로 여러 체계를 세우고 연속의 개념도 달라지게 됩니다. 기본적인 위상에 대한 지식은 대학원 실해석학으로 나아가는 데 필수적입니다. 또한 고급미시이론에서는 상당히 중요할 것 같고... 측도론을 다루는 데 쓰이기 때문에 결국 계량이나 금융을 생각하시는 분들도 들어두면 좋지 않을까 생각됩니다. 보통은 위상수학개론1 정도만 수강하면 충분하다고 합니다. 고정점 정리는 2에서 배우는데 그렇게 고정점 정리만 깊게 배우는 것도 아니니까요.
munkres 책이 좋다고 생각됩니다. 교재로 munkres와 kahn을 사용하는데 kahn은 파격적으로 얇은 책이어서... 설며이 충분한 munkres로 자습하는 것이 괜찮더군요. 선수과목은 해석개론 1 정도만 들어도 충분하고... 말씀드렸듯이 실해석학 듣는데 도움이 됩니다. 역시 학부 때 시간 여유가 있는 경우 듣는 것이 좋습니다. 또 서울대 수리과학부 위상 담당 교수님들이 대부분 명강의로 알려져 있어서, 여유 있을 때 듣기는 꽤 좋은 수업이 아닐까 싶습니다.
10. 복소함수론
복소함수론도 최근 과목명의 변동이 아주 심했는데요... (수학과는 커리큘럼이 상당히 자주 바뀝니다.) 최근에는 복소함수론 1,2가 되어 각각 1학기와 2학기에 있고 복소변수함수론이 타과생을 위한 과목으로 개설되고 있습니다. 대학원 복소해석학에서는 상당히 이론적인 과목으로 탈바꿈한다는데.... 학부에서는 이렇게 이렇게 계산하면 깨끗하게 적분이 계산된다는 것을 상당히 많이 배운다고 합니다. 저는 듣지 않았고 주위에 몇몇 친구들이 들었는데 주로 공대생들이 많이 듣고, 경제학부생의 경우 굳이 들을 필요는 없다는 의견이 대다수였습니다. 게다가 위상과는 딴판으로 서울대 수리과학부에 복소함수 담당 교수님들 중에서는 좀 폭탄-_-이 많습니다. 강현배 교수님께서 주전공이 이쪽에 가까울텐데 이쪽 강의는 거의 많으시지를 않더군요. 최근에는 새로운 복소 담당 새로운 교수님도 오셨다는데 앞으로는 어떻게 될지 모르겠습니다. 경제학에서는 계량경제학 및 시계열에 어느 정도 유용하다고 합니다. (통계학과에서도 복소함수론이 중요하다는...) 그러나 역시 자습하면 충분한... 그런 정도입니다.
11. 수치해석개론
수치해석개론, 수치선형대수, 대학원의 수치해석 등이 모두 같은 계열의 과목입니다. 수치해석은 컴퓨터 프로그래밍을 통해서 문제를 푸는 것이 핵심 과제입니다. 따라서 프로그래밍 숙제가 상당히 많이 나오고... 할 일은 상당히 많은 수업이지만 경제학에서도 실제 데이터를 다루면서 컴퓨터를 만지로 해를 구해야 할 일이 많기 때문에 어느 정도 유용한 수업이라고 합니다. 다르게 말하면 엄밀함과는 상당히 거리가 먼 수업이라는.... C를 주로 사용한다고 들었습니다.
그러나 역시 이 과목들도 자습하면 충분한 정도... 라고 알고 있습니다.
12. 확률론
통계학과 과목들에 대해서도 몇 자 덧붙이겠습니다.
통계학은 크게 확률론/이론통계/응용통계 이렇게 나눌 수가 있을 텐데요. 그 중 확률론에 해당하는 과목은 학부에서 확률의 개념 및 응용(1학기), 랜덤 프로세스(2학기), 고급확률과정론(1학기), 확률론1(1학기), 확률론2(2학기) 입니다.
확률론도 세부적으로는 확률이론 부분과 확률과정론 부분으로 나눠지는데 확률이론에 해당하는 과목은 확률론1, 확률과정론에 해당하는 과목은 랜덤 프로세스, 고급확률과정론입니다. 확률의 개념 및 응용과 확률론 2는 둘 모두에 해당됩니다. 확률이론의 경우는 이미 알고 있는 내용인 확률변수에 대해서, 확률변수가 일종의 측도임에 착안하여 해석학, 실변수함수론의 내용을 이용하여 여러 정리들을 증명하게 됩니다. 그 밖에 확률변수의 다양한 수렴모드, 대수의 법칙, 특성함수, 중심극한정리가 확률론1의 주요 내용입니다. 확률의 개념 및 응용은 이보다 더 기본적인 내용들을 배운다고 알고 있습니다. 확률과정론은 renewal theory, markov chain, poisson process 등의 내용을 주로 배우고 잘 익히면 미시이론 등에 확률모형으로 응용할 수 있습니다만 확률이론에 비해서는 전반적으로 경제학에서 필요한 정도는 조금 낮습니다. 확률론 2에서는 이것들을 종합하여 조건부확률에 대한 이론적인 내용 및 brownian motion, 마팅게일 등의 내용을 배우게 됩니다.
계량, 금융 뿐 아니라 확률적인 부분을 도입하는 미시-거시에도 상당히 중요한 내용인데 문제는 통계학과 확률론 계열 강의가 거의 모두 그닥 좋지가 않습니다. 또 확률론의 경우 좋은 책들도 많지가 않구요. 스탠다드하게 Billingsley 의 Probablity and measure, 고전적인 확률론 책으로 kai lai chung, 그리고 확률과정론 부분에 중점을 둔 Durrett의 최근 저작 Probability 책 등등이 있는데 하나같이 좀 설명이나 구조가 좀 맘에 들지 않습니다. 여러 가지로 쫓아가기가 쉽지 않은 수업인데(학점도 잘 주지 않습니다.) 내용이 워낙 중요하게 쓰이는 데가 많습니다. 적절하게 청강하는 것도 좋을 듯하고.... 여하튼 중요하게 쓰는데가 많은데도 대학원 확률론 수강에 대한 추천은 조금 꺼려집니다. 아마 통계학과 과목으로는 수리통게를 많이들 들으실텐데, 포인트는 확률론은 수리통계보다는 해석학에 훨씬 가까운 수업이라는 것... 기억해 두시기 바랍니다.
13. 수리통계 및 이론통계
수리통계는 확률론에 대한 아주 기본적인 내용을 바탕으로 여러 가지 분포에 대한 이론, 기본적인 수렴모드에 대한 내용을 1학기에 배우고, 추정 및 검정에 대한 전반적인 내용을 2학기에 배웁니다. 참고로 대학원 경제통계학 연구에서는 수리통계 2학기 내용+@를 1학기에 배웁니다. 즉 수리통계 수업은 진도는 그렇게 빠르지 않지만, 상당히 상세하게 배우고 계산경험을 정말 많이 하게 되는 장점이 있습니다. 그래서 들어 두면 분명히 좋기는 한데 대학원 경제통계학 연구가 있기 때문에 계량 경제학 전공할 사람이면 꼭 들어야 한다... 이런 말을 하기가 좀 그렇습니다. 대학원 이론통계는 수리통계학의 확장 버전입니다. 회귀분석 강의의 경우에는 예전에는 경제학부 분들이 꽤 들었는데 요즘에는 학부 계량경제학 강의가 워낙 확충되어서 굳이 들을 필요가 없을 것 같습니다.
기타 과목들은 과목명이 과목의 내용을 워낙 잘 소개해 주고 있습니다. 관심있는 과목만 골라 듣기 쉽게 되어 있습니다. 그래도 통계학과 복수전공은 좋지 않은 것 같구요. 결국 교수님 이름에 좀 신경을 써 주시면 될 것입니다. 박태성 교수님의 경우 괜찮은 강의로 알려져 있고 김우철 교수님의 경우 상당히 빡센 강의이지만 그만큼 남는 것도 많다는 수업입니다. 새로 오신 몇몇 교수님들도 강의 괜찮다고들 하구요. 하지만 노교수님에 대한 평은 전반적으로 좋지 않은 편입니다. 다 그렇지는 않지만....
이 정도로 비로소 제가 대충 이 게시판에 그간 끄적이던 내용들을 모두 쏟아낸 것 같군요. -_-;;;;;;
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